Caracteristicas Plds

Taller 3b
Matem´ticas IV a Febrero de 2013
1. Use la regla de la cadena para encontrar ∂z/∂s y ∂z/∂t. (a) z = ex+2y , x = s/t y = t/s. (b) z = x2 + xy 3 , x = st2 + s3 y = t + set . (c) z = exyln(x2 − y 2 ), x = 2s + 3t y = 4t − 2s. 2. Para cada una de las funciones siguientes y el punto dado P encuentre f , f (P ), , y la tasa de cambio de f en P en la direcci´n dada. (Du (f )(P )) donde u esun vector unitario). o √ (a) f (x, y) = sin(2x + 3y), P = (−6, 4), v = ( 3, 1). (b) f (x, y, z) = xe2yz , P = (3, 0, 2), v = (2, −2, 1). (c) f (x, y, z) = x2 + yz, P = (1, 3, 1), v = (2, 3, 6). (d) f(x, y, z) = xey + yez + zex , P = (0, 0, 0), v = (5, 1, 2). √ (e) f (x, y, z) = xyz, P = (3, 2, 6), v = (−1, −2, 2). 3. La superficie de una laguna se puede representar por una regi´n D del plano xyde tal manera que la o profundidad de la laguna en un punto (x, y) est´ dada por a P (x, y) = 300 − 3x2 y 2 Suponga que ud. se encuentra en el punto (−1, 2). (a) En qu´ direcci´n deber´ nadar ud. detal manera que la profundidad decrezca lo m´s r´pido posible?, e o ıa a a Cu´nto es la tasa de cambio de la profundidad si nada en esa direcci´n?. a o (b) En qu´ direcci´n deber´ nadar ud. de tal maneraque la profundidad permanezca constante?. e o ıa (c) Si su mejor amigo se encuentra parado en la orilla en el punto (2,5). A qu´ tasa cambia la profundidad e si ud. nada en la direcci´n donde est´ sumejor amigo? o a 4. La temperatura en un punto (x, y, z) del espacio est´ dada por a T (x, y, z) = 200e−x
2

−3y 2 −9z 2

(a) Encuentre la tasa de cambio de temperatura en el punto P = (2, −1,2) en direcci´n desde P hacia el o punto (3, −3, 3). (b) En qu´ direcci´n la temperatura crece m´s rapidamente en el punto P ?. e o a (c) Encuentre la tasa m´xima de incremento de temperatura en P . a5. Encuentre la ecuaci´n del plano tangente a la superficie dada en el punto especificado. o (a) 2(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 10, (3, 3, 5). (b) y = x2 − z 2 , (4, 7, 3). (c) z + 1 = xey cos(z),...