características dinamicas

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Análisis en el dominio del
tiempo de sistemas de primer y
segundo orden

Básicamente, las propiedades dinámicas de las plantas pueden ser aproximadas
por las características temporales de sistemas más simples. Se entiende por modelos
simples, aquellos que definen su dinámica por ecuaciones diferenciales lineales de
primer o de segundo orden.
Como se verá en el siguiente capítulo, losmodelos de los equipos pueden ser
abordados por funciones de transferencias sencillas. Este paso se da en una doble
vertiente. Desde el punto de vista del análisis, al reducir el modelo se podrá predecir sus
características temporales, empleando expresiones matemáticas de los modelos
sencillos. Por otro lado, desde la visión del diseño, se suele emplear las medidas de las
característicastemporales de los modelos simples para fijar los requisitos del
comportamiento dinámico de los sistemas a compensar.
Por todas estas razones, este tema pretende analizar el comportamiento dinámico
temporal de los sistemas simples, fijando su evolución temporal así como de tantos
parámetros como exija, para su determinación matemática.

Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial129

Capítulo 6: Análisis temporal de sistemas de 1er y 2º

Apuntes de Regulación

6.1 Sistemas de primer orden
Se denomina orden de un sistema al grado de su polinomio característico, esto
es, al número de polos que tiene el sistema en su conjunto.
La función de transferencia de un sistema de primer orden es:
N (s )
(s + a )

G (s ) =

(6. 1)

donde N(s) es el polinomio delnumerador de coeficientes constante al ser de
tipo LTI. Por el principio de causalidad, el grado de N(s) es uno o cero, bien es una
constante o es un cero de primer orden. Considérese el caso más simple, el numerador
corresponde a una ganancia. La relación entre la entrada y salida del sistema vendrá
dada por una ecuación diferencia ordinaria de primer orden:

Ty (t ) + y (t ) = kx(t )

(6. 2)donde x(t) representa la señal en la entrada e y(t) es la salida. Aplicando a ambos
lados de la igualdad la transformada de Laplace y considerando condiciones iniciales
nulas, se conseguirá la FDT de los sistemas de primer orden:
G (s ) =

Y (s )
k
k /T
=
=
1
X (s ) 1 + Ts
s+
T

(6. 3)

El valor de k será la ganancia estática del equipo y T será la constante de tiempo.
Engeneral, denominando ai y bi a los coeficientes de los polinomios del denominador y
del numerador, respectivamente, de grado i, las dos FDT de primer orden de los
sistemas causales serán:
.

a1 y + a 0 y = b0 x → G (s ) =

.

.

b0
a1 s + a 0

a1 y + a0 y = b0 x + b1 x → G (s ) =

b0 + b1 s
a0 + a1 s

(6. 4)

(6. 5)

Sin embargo, para determinar la respuesta dinámica del sistemade primer orden
se empleará el modelo de la ecuación (6. 3). En el caso de que tuviera un cero de primer
orden, desde luego, su dinámica cambiará. Pero desde el punta de vista metodológico,
se planteará como la adición de un cero al sistema simple definido en la ec. (6. 3). Estos
aspectos serán tratados en el capítulo siguiente. Por tanto, se va a tratar de definir la
respuesta dinámica deun sistema simple de primer orden y si poseyese un cero, su
efecto se verá como una adición a la dinámica del sistema simple.

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Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial

Apuntes de Regulación

Capítulo 6: Análisis temporal de sistemas de 1er y 2º

6.1.1 Respuesta temporal ante la entrada en escalón
Para analizar la dinámica del sistema de primer orden se requiereconocer qué
tipo de entrada excitará al equipo. Como a priori no se conoce la naturaleza de esta
señal, tal cual se comentó en el anterior capítulo, se emplearán las señales de pruebas.
En el dominio temporal se definieron tres entradas normalizadas: escalón, rampa y
parábola. Por dicha razón, la caracterización de los sistemas de primer y segundo orden
en el dominio temporal se darán con estas...