Caraculo

1. Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que la suma del cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo, sea mínima. Llamaremos x al primer sumando e y al segundo. Como x y =90 ⇒ y=90−x Queremos minimizar la expresión x 22⋅90− x2 , así que definimos la función: f  x =x 22⋅90− x2 f '  x=6x−360 f '  x=0⇔ 6x−360=0 ⇔ x=60

x ∈ℝ

1

x=60 es unmínimo relativo y absoluto para la función f(x). De modo que los sumandos deben ser: x=60, y=30 ♣ 2. Se calcula que entre las 2000 y las 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f  x =2x 2−12x23 , donde f(x) indica los litros consumidos en una hora, y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada: a) Lasrevoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo. c) Dichos consumos La función f(x) tiene como dominio el intervalo cerrado [2,5] . f '  x=4x−12 ; f '  x=0⇔ 4x−12=0⇔ x=3 Examinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento queda claro que el menor consumo se consigue cuando x=3, es decir, a 3000 revoluciones. A esas revolucionesel consumo es: 2 f 3=2⋅3 −12⋅323=5 L/h ♣ El máximo consumo debe darse en alguno de los extremos, veamos: f 2=2⋅22−12⋅223=7 L /h f 5=2⋅52−12⋅523=13 L /h Por tanto el mayor consumo se da a las 5000 revoluciones. El consumo es de 13 L/h ♣

1 Para derivar la función

f  x =x 22⋅90− x2 , conviene desarrollar la expresión. De ese modo derivaremos un polinomio. Desarrollando queda: f x =x 216200−360x2x 2=3x 2−360x16200

12.

La relación entre la temperatura del aire T (en º F) y la altitud h (en metros sobre el nivel del mar) es lineal para 0 ≤ h ≤ 20000. Si la temperatura a nivel del mar es de 60 º F y por cada 5000 m de altitud que se sube, la temperatura del aire baja 18 º F, se pide: a) Expresar T en función de h b) Calcular de forma razonada la temperatura delaire a una altitud de 15000m c) Calcular de forma razonada la altitud a la que la temperatura es 0 º F. Este ejercicio NO está hecho en clase Aclaraciones: • ºF son grados Farenheit. ( http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_Fahrenheit ) • “Si la temperatura a nivel del mar es de 60 º F y por cada 5000 m de altitud que se sube, la temperatura del aire baja 18 º F”. Esto significa que es una relaciónlineal. • En este caso la variable independiente es la altura sobre el nivel del mar, h. La variable dependiente es la temperatura T. Recuerda que la relación es lineal T=ah+b Sabemos que cuando h es 0 m. (nivel del mar) T es 60 ºF y que cuando h es 5000 m. la temperatura T es de 42 ºF .

{

60=a⋅0b ⇒ b=60 42=a⋅5000b a=−0,0036

{

Podemos expresar, por tanto, T en función de h como sigue: T=−0,0036⋅h60 , o todavía mejor, T  h=−0,0036⋅h60 ♣ 2 Para responder al apartado b) sólo debemos sustituir en la relación que acabamos de dar h por 15000 y calcular T 15000=−0,0036⋅1500060=6 ºF ♣ Para el siguiente apartado, sustituyamos en la relación que obtuvimos en el apartado a) T por 0 y resolvamos la ecuación: 0=−0,0036⋅h60 ⇔ 0,0036⋅h=60 ⇔ h= 3. 4. Obtener la derivada de la funciónf(x) = 2 en el punto de abscisa x = 4. Explicar lo que x− 3 significa el valor obtenido de la derivada. Calcular la tasa de variación instantánea en el punto de abscisa x = 5. 60 50000 = ≈16666 ' 66 m. ♣ 0,0036 3

Lo que nos piden es, simple y llanamente f ' 4 . No nos piden que lo hagamos por la definición, así que podríamos usar las reglas de derivación. 2 −2h −2 f 4h− f  4 f 4h− f 4 1h 1h −2h f ' 4=lim =lim =lim =lim =lim =−2 h h h h h1h h0 h0 h 0 h 0 h 0 La tasa de variación instantánea en el valor de abscisa x=5 es la derivada en x=5, que se hace de manera idéntica. ♣ f ' 5 ,

2 ¿Aprecias la diferencia entre las dos expresiones?

5. El beneficio, y, en millones , de una sociedad en función de la inversión, x, en millones, viene dado por y=x 22x7....