Caraho

85 • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 361
Además, decir que X= Ф (t) C es una solución de X’= A (t) X significaФ’ (t) C= A (t) = ф (t) C
o bien: (Ф’ (t) – A (t) Ф (t))C= 0.
Puesto que última igualdad debe cumplirse por todo t del intervalo I, cualquiera que sea la matrizcolumna C de constantes, debemos tener
Ф’ (t) – A (t) Ф (t)= 0
o bien Ф’ (t) = A (t) ф (t).(14)
Este resultado será útil en la sección 8.8.
Una matriz fundamental es no singular
Una comparación entre el Teorema 8.5 y la Definición 8.19 muestra que det ф (t) y el wronskiano W(X₁, X₂,…, Xn)* son iguales. Por lo tanto, la independencia lineal de las columnas de ф (t) en un intervalo I garantiza que det ф (t) ≠ 0 para todo t del intervalo. Esto es, ф (t) es no singular en elintervalo.
TEOREMA 8.8
Sea ф (t) una matriz fundamental del sistema homogéneo (3) en el intervalo I. Entonces ф⁻¹(t) existe para todo valor de t en el intervalo.
Ejemplo 15
En elcaso de la matriz fundamental del sistema dada en (13), vemos que det ф(t) = 8e⁴ᵗ. Entonces, d (3) en la Sección 8.4, se desprende que
ф⁻¹(t)= 18e4ᵗ 5e6ᵗ-3e6ᵗe-2ᵗe-2ᵗ= 58e2ᵗ38 e2ᵗ18e-6ᵗ18e-6ᵗ.
Una matriz especial
En algunos casos es conveniente formar otra matriz especial de n x n; una matriz en la cual los vectores columna Vᵢ son soluciones de X’= A (t) X que satisfacen las condiciones
V₁ (t₀) = 10⋮0, V₂ (t₀) = 01⋮0,…, Vn (t₀) = 00⋮1. (15)
Aquí t₀ es un punto arbitrariamenteelegido en el intervalo en el cual se define la solución general del sistema. Denotaremos esta matriz especial por el símbolo ψ (t). Obsérvese que ψ (t) tiene la propiedad
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*Por...