Caratula

[pic]

Alejandro Rodríguez Garcia

No. De cuenta: 40901151-1

Ing. CERECEDO HERNÁNDEZ FORTUNATO

Materia: Calculo Vectorial

Trabajo: Integrales Dobles, Triples

Turno: Matutino

“Integral Doble”

Al igual que la integral de una función de una variable representa el área (con signo) de la región bajo la gráfica de dicha función, la integral de una función de dos variables sobreuna región representa el volumen del espacio que queda entre la gráfica (tridimensional) de la función y el plano sobre el cual la dibujamos. La integral en una cierta región de una función de dos variables se llama integral doble.

Matematicas calcula integrales dobles con el mismo comando con el que calcula integrales de funciones de una variable, modificando los argumentos para especificar quequeremos integrar en las dos variables. La única dificultad está en la forma de especificar en qué región queremos integrar, ya que ahora no se trata de un intervalo sino de una parte del plano.

Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área (A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectángulo, entonces la integraldoble de f sobre R es:

[pic]

La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.

[pic]

“Propiedades De Las Integrales Dobles”

Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son utiles en los calculos y en las plicaciones.

[pic]

TEOREMA DEFUBINI PARA CALCULAR INTEGRALES DOBLES.
 
Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular
[pic] en el plano xy. Entonces el volumen es
[pic]
 
Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos calcular A(x) como la integral
[pic]
 
Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Alcalcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. Al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es
[pic]
 
 
Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir
[pic]
La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respectoa y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.
 ¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje?
¿Cómo función de y, el área transversal típica es?
[pic]
Por tanto el volumen de todo el sólido es
[pic]
 

Teorema de Fubini (un lado)

[pic]

Teorema de Fubini (otro lado)

[pic]“Aplicaciones de las integrales dobles”

Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en fısica y en geometría

1. El ´area de una region plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.

area(R) = dxdy

2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x; y)(> 0) y una region R en el plano xy es:

V = R f(x; y)dxdy3. Sea f(x; y) la funcion de densidad (=masa por unidad de area) de una distribución de masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es
M = R f(x; y)dxdy

4. El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y donde:
x =1/M R xf(x; y)dxdy; y = 1/M R yf(x; y)dxdy

“INTEGRALESTRIPLES”

Si f es continua en una región sólida, acotada D ( IR3 entonces la integral triple de f sobre D, se define como:

[pic] f (xi , yi , zi) [pic]

siempre que exista el límite. Elemento de volumen: dV = dx dy dz

“Propiedades de las integrales triples”

1) [pic] cf (x, y, z) dv = c [pic] f (x, y, z) dv
2) [pic]f (x, y, z) ( g (x, y, z) dv = [pic] f (x, y, z) dv (...