Cardioide

CAPITULO I
Introducción de Cardioide

Un cardioide (del griego καρδία "corazón") es una curva plana trazada por un punto en el perímetro de un círculo que está rodando en torno a un círculo fijo de igual radio. It is therefore a type of limaçon and can also be defined as an epicycloid having a single cusp . Por tanto, es un tipo de Limaçon y también se puede definir como una epicicloide quetiene una sola cúspide .
El nombre fue acuñado por de-Castillon en 1741, a pesar de que fue objeto de décadas de estudio. Though named for its heart-like form, it is rather shaped more like the outline of the cross section of a plum . Aunque el nombre de su-como forma de corazón, es más bien en forma de más como el contorno de la sección transversal de una ciruela .
Es también un tipo de espiralsinusoidal , y una curva inversa de la parábola con el foco en el centro de inversión.

Un cardioide dada como la envolvente de los círculos cuyos centros se encuentran en un círculo dado, y que pasan a través de un punto fijo en el círculo dado.

CAPITULO II
Ecuaciones

Con base en la descripción círculo móvil, con el círculo fijo, cuyo origen sea como su centro, y ambos círculo que tieneun radio, la cardioide es dada por las siguientes ecuaciones paramétricas :

In the complex plane this becomes En el plano complejo esto se convierte en:

Here a is the radius of the circles which generate the curve, and the fixed circle is centered at the origin. Aquí a es el radio de los círculos que generan la curva, y el círculo fijo se centra en el origen. The point generating the curvetouches the fixed circle at ( a , 0), the cusp. El punto de generar la curva toca el círculo fijo en (a, 0), la cúspide. The parameter t can be eliminated giving El parámetro t se puede eliminar dando:

or, in rectangular coordinates, o, en coordenadas rectangulares,

These equations can be simplified somewhat by shifting the fixed circle to the right a units and choosing the point on therolling circle chosen so it touches the fixed circle at the origin; this changes the orientation of the curve so that the cusp is on the left. Estas ecuaciones se pueden simplificar un poco por cambiar el círculo fijo a la derecha unas unidades, y elegir el punto en el círculo rodante elegido por lo que toca al círculo fijo en el origen, lo que cambia la orientación de la curva para que la cúspideesté a la izquierda. The parametric equations are then: Las ecuaciones paramétricas son entonces:

or, in the complex plane, O, en el plano complejo,

With the substitution u =tan t /2, Con la sustitución u = t bronceado / 2,

giving a rational parameterization: Dando una parametrización racional:

orÓ

The parametrization can also be written La parametrización también se puedeescribir

and in this form it is apparent that the equation for this cardioid may be written in polar coordinates as y en esta forma es evidente que la ecuación para este cardioide se puede escribir en coordenadas polares como:

where θ replaces the parameter t . Donde θ sustituye al parámetro t. This can also be written Esto también se puede escribir:

which implies that the curve is a memberof the family of sinusoidal spirals . lo que implica que la curva es un miembro de la familia de espirales sinusoidal .
In Cartesian coordinates , the equation for this cardioid is En coordenadas cartesianas , la ecuación para este cardioide es:

CAPITULO III
Propiedades Métricas y Curva Inversa

PROPIEDADES METRICAS
La zona delimitada por una cardioide puede ser calculado a partir de laecuación polar:

or 6 times the area of the circles used in the construction. [ 2 ] o 6 veces el área de los círculos utilizados en la construcción.
The arc length of a cardioid can be computed exactly, a rarity for algebraic curves. La longitud del arco de un cardioide se puede calcular con exactitud, una rareza para las curvas algebraicas. The total length is [ 2 ] La longitud total es...