carga de euler

CARGA DE PANDEO DE EULER PARA COLUMNAS
CON EXTREMOS ARTICULADOS

A fin de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la carga de pandeo de una columna ideal, se debe permitir que ocurra un pequeño desplazamiento lateral del eje de la columna. Para la columna con extremos articulados e inicialmente recta de la Figura 9.7.a, lo anterior se indica en la Figura 9.7.b.
Para elcaso de la columna ligeramente flexionada de la Figura 9.7.b., el momento flector M en una sección cualquiera es , que si se substituye en la ecuación diferencial de la elásticada por resultado



Entonces, como se hiciera en la ecuación (9.4), tomando , tenemos









Es fácil ver que esta ecuación es la parte homogénea de la para una viga columna con extremos articulados. Susolución es









Donde las constantes arbitrarias C1 y C2 se deben determinar a partir de las condiciones decontorno, que son





Es decir: y

La ecuación (9.23) se puede satisfacer tomando.Como esto corresponde a la condición sin pandeo, esta solución es trivial. Alternativamente la ecuación (9.23) también se satisface sidonde es un entero. En esta ecuación los valores característicos o auto valores para tal ecuación diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requieren que:


Se supondrá en este caso que n puede ser cualquier número entero. Sin embargo, puesto que el interés se centra en el valor mínimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la cargacrítica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es



Donde I debe ser el momento de inercia mínimo del área transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos con frecuencia se lo denomina el caso fundamental.
Substituyendo la ecuación (9.24) en la (9.22), sabiendo que C2 es cero, se obtiene el modo o formade pandeo de la columna:






Esta es la función característica o auto función de este problema y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, hay un número infinito de tales funciones. En esta solución linealizada la amplitud C1 del modo de pandeo permanece indeterminada. Para, la curva elástica es media onda de una sinusoide. Esta forma, junto con los modos correspondientes a y, semuestran en la Figura 9.7.c-e. Los modos de orden superior no tienen significado físico en el problema de pandeo, puesto que la carga crítica mínima ocurre en .
Una solución alternativa del problema anterior se puede obtener utilizando la ecuación diferencial igualada a cero. De la ecuación tal ecuación es.







Para el caso considerado (articulado en ambos extremos), las condiciones deborde son:




Utilizando estas condiciones con la solución homogénea de la ecuación (), junto con su derivada segunda dadas por las ecuaciones (.a y c), se obtiene







Para este sistema de ecuaciones C1, C2, C3 y C4 podrían ser todos iguales a cero, lo cual daría una solución trivial. Alternativamente, para obtener una solución no trivial se debe anular eldeterminante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones homogéneas. Por lo tanto con



La evaluación de este determinante conduce a sen(_L) = 0, que es precisamente la condición dada por la ecuación (9.23).Este método es ventajoso en problemas con diferentes condiciones de contorno en que la fuerza axial y el producto EI permanecen constantes en toda la longitud de la columna. Elmétodo no se puede aplicar si la fuerza axial se extiende sólo sobre una parte de un miembro.


PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES EN SUS EXTREMOS

Procedimientos iguales a los estudiados en la sección anterior se pueden utilizar para determinar las cargas de pandeo elástico de columnas con diferentes condiciones de borde. Las soluciones de tales problemas son muy...