cargaRC

Transitorios en circuitos RC
Presentaci´
on para apoyo a clases presenciales, de distribuci´
on
gratuita y exclusiva para los alumnos de la materia F´ısica II
(FECFyN - UNC)
Textos preparados por el Ing./Lic. Mariano A. Nicotra
Prof. Adj. F´ısica II (Ingenier´ıa)
Figuras de elaboraci´
on propia
El presente material NO es un apunte completo. Se sugiere s´
olo
a modo de gu´ıa complementaria enocasi´
on de estudio de los
temas abordados utilizando la bibliograf´ıa de la asignatura
recomendada por la C´
atedra.
F.C.E.F.y N.-U.N.C.-Setiembre de 2011

1

Transitorios en circuitos RC
Capacitores o condensadores el´
ectricos (repaso)
Sistema de dos (o m´
as) conductores (armaduras) separados por un
diel´
ectrico. Conectados a los terminales o bornes de un generador,
reciben cargas de igualvalor absoluto y distinto signo (inducci´
on
electrost´
atica total). Dispositivo almacenador de cargas, auxiliar
en circuitos el´
ectricos o electr´
onicos.
La capacidad del condensador se define como:

C=

Q
∆V

;

(1)

C > 0

en la cual Q es la carga de una de las armaduras y ∆V es el valor
absoluto de la diferencia de potencial entre armaduras que tienen
cargas opuestas.
2

Transitorios encircuitos RC
Proceso de carga de un capacitor (I)
El generador suministra una d.d.p. ∆Vg y mientras ∆VC < ∆Vg ,
hay circulaci´
on de cargas: corriente transitoria de carga del condensador. Su carga q(t) del condensador aumenta y junto con ella
crece su d.d.p.:

∆VC (t) =

q(t)
C

(2)

El proceso finaliza cuando se nivelan las d.d.p. :
∆VC f inal = ∆Vg

(3)

El generador queda finalmente a circuitoabierto, luego la d.d.p.
y carga final de C quedan dados por:
∆VC f inal = (∆Vg )c.ab. = ε

;

qf inal = Q = C ε

(4)
3

Transitorios en circuitos RC
Proceso de carga de un capacitor (II)
Mientras hay circulaci´
on de cargas, se tiene el transitorio de carga
del capacitor y la correspondiente corriente transitoria de carga
del capacitor I(t):

I(t) = +

dq(t)
dt

(5)

y cuando proceso finaliza:

Ifinal = 0

(6)

¿Cu´
anto tiempo dura el proceso de carga de C?¿C´
omo var´ıan
durante ese tiempo I(t) y q(t) ?
4

Transitorios en circuitos RC
La ecuaci´
on de malla
Se debe tener en cuenta, adem´
as de C, la resistencia R del circuito
(v´
ease, por ej, la figura 143 de Morelli): circuito RC
An´
alisis de tensiones: se puede extender la segunda ley de Kirchhoff al caso de componentes capacitivos;se sigue obteniendo de:

ε =

E · dl

(7)

luego, en este caso:

ε = ∆VR + ∆VC = R I(t) +

q(t)
dq(t)
q(t)
= R
+
C
dt
C

(8)
5

Transitorios en circuitos RC
Ecuaci´
on diferencial del circuito RC
Se tiene una ecuaci´
on diferencial ordinaria, no-homog´
enea y a coε
eficientes constantes. Sustituyendo I0 = R y τ = RC, luego de
dividir m.a.m. por R:

q(t)
dq(t)
+
= I0
dt
τ

(9)

Se resuelve conrelativa sencillez por separaci´
on de variables.
Advertencia: resolver una ecuaci´
on diferencial es integrarla a fin
de obtener la variable dependiente q(t) en funci´
on de la variable
independiente t.

6

Transitorios en circuitos RC
Resoluci´
on de la ecuaci´
on del circuito (I)
dq(t)
q(t)
+
= I0
dt
τ

(10)

dq(t)
q(t)
= I0 −
dt
τ

(11)

Haciendo u(t) = q(t)/τ

du
= I0 − u
dt

(12)

du
dt
=
(I0 −u)
τ

(13)

τ

7

Transitorios en circuitos RC
Resoluci´
on de la ecuaci´
on del circuito (II)
La ´
ultima se integra directamente

1
du
=
(I0 − u)
τ

dt + cte1

(14)

t
Ln[I0 − u(t)] = − + cte1
τ

(15)

Luego, tomando el antilogaritmo en ambos miembros:

I0 − u(t) = I0 −

q(t)
= cte2 e−t/τ
τ

(16)

8

Transitorios en circuitos RC
Determinaci´
on de la constante de integraci´
on
Las constantesde integraci´
on dependen de las condiciones iniciales
del sistema.
¿Cu´
ales son esas condiciones?: Para t = 0, q(0) = 0, luego
cte2 = I0

q(t) = τ I0 (1 − e−t/τ ) = Q (1 − e−t/τ ) = Cε (1 − e−t/RC )

(17)

9

Transitorios en circuitos RC
La corriente transitoria de carga
La intensidad de la corriente transitoria I(t) se obtiene derivando
el incremento de carga q(t) que adquiere el condensador...