Carmen

Aplicación de métodos para solucionar ecuaciones lineales
Objetivo. Solucionar un problema aplicado a la ingeniería mecánica, haciendo uso de los métodos de resolución de ecuaciones linéales, realizados en clase.
Marco teórico:
ECUACIÓN LINEAL
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal,es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz conuna única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m.

Transferencia de calor mediante el método de diferenciad finitas
En el análisis por diferencias finitas s se considera que el cuerpo o sistema está constituido por elementos de volumen muy pequeño pero finitos, los cuales vienen hacer unarepresentación y aproximación de los elementos diferenciales usados en la formulación analítica.

Red nodal en el análisis de conducción de calor bidimensional, por diferencias finitas, el principio de energía se va a aplicar a cada elemento de profundidad unitaria, ancho ∆x y altura ∆y
El conjunto de todos estos elementos constituye la red nodal.
El centro de cada volumen finito se conoce como nodo yse suponen en el análisis que la temperatura en este representa la temperatura de todo el elemento finito
Analisis de nodos interiores a sistema
Para el caso en que dichos nodos estén sujetos al fenómeno de la conducción de calor pura.
De la ecuación de la conservación de la energía: EENT+EG-ESAL=EALM
Queda: EENT=0→ Q1+Q2+Q3+Q4 =0
Luego el calor transferido esta dado por:
Q=K*A*(T1-T2)∆x
Haciendo: ∆x=∆y
Obtenemos la ecuación en diferencias finitas para nodos internos al sistema.
T(m-1,n)+T(m+1,n)+T(m,n-1)+T(m,n+1)-4T(m,n)=0 (1)
De esta forma se reduce el problema de la conducción de calor, a la solución de un conjunto de ecuaciones algebraicas
PROBLEMAAPLICADO A LA TRANFERENCIA DE CALOR
PROBLEMA: para una barra de sección transversal rectangular, como se muestra en la figura, se pide determinar la temperatura de los nodos internos 1-6.

Solución de la ecuación
T(m-1,n)+T(m+1,n)+T(m,n-1)+T(m,n+1)-4T(m,n)=0
para obtener las temperaturas en los nodos 1-6, esta dado por las siguientes ecuaciones:

T2+T3-4T1=-100
T1+T4-4T2=100
T1+T4-4T3=0T2+T3-4T4=0


Se forma la siguiente matriz:
| -4 | 1 | 1 | 0 | | | T1 | | | -100 |
| 1 | -4 | 0 | 1 | | | T2 | | = | -100 |
| 1 | 0 | -4 | 1 | | | T3 | | | 0 |
| 0 | 1 | 1 | -4 | | | T4 | | | 0 |

Usando métodos directos:

Método de gauss Jordán
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna,intercambiarlo con otro que no lo tenga
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
5. Comenzando con elúltimo renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes
SOLUCION
-4 | 1 | 1 | 0 | -100 |
1 | -4 | 0 | 1 | -100 |
1 | 0 | -4 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | -4 | 0 |
→
F1*-14 → | 1 | -0,25 |...