Carpeta de ejercicios mate 3

UNIDAD 1 VECTORES
1.1 Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica) y su generalización en Rn.
1.2 Operaciones con vectores y sus propiedades.

1. Un barco recorre 5 kilómetros hacia el norte y luego 3 kilómetros hacia el noroeste. Representa estos vectores desplazamiento y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente, (b) analíticamente.C=A2+B2-2AB cos0PQ
C=52+32-253 cos135°
C=34+21.21
C=55.21=7.43
C=7.43 Km
asinA=bsinB=csinC
7.4sen135=3sen∝→sen∝=3sen1357.4=.28666→∝=sin-10.28666=16.65°

2. Un automóvil recorre 4 kilómetros hacia el sur y luego 7 kilómetros hacia el sureste. Representa estos vectores desplazamiento y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente, (b) analíticamente.

C=A2+B2-2AB cos0PQC=42+72-247 cos135°
C=65+39.59
C=104.59=10.22

C=10.22 Km
asinA=bsinB=csinC

10.22sen135°=7senα→sen∝=7 sen135°10.22=0.48431→∝=sen-10.48431=28.96°
3. Dado los siguientes vectores encontrar los vectores resultantes y sus módulos.
A=3,1,2 B=-4,-2,3 C=-6,0,2 D=3i-4j+k E=-6j+2k
1. a=2A-12B
a=23,1,2-12-4,-2,3=6, 2, 4+2, 1, -32=6+2, 2+1, 4-32
a=8, 3, 52
v=82+32+522=64+9+254=3174=8.902. b=32B+2D-E
b=32-4i-2j+3k+23i-8j+k--6j+2k
=-6i-3j+92k+6i-8j+2k+6j-2k=-5j+92k
v=-52+922=25+814=1814=6.72
3. c=-4C+3E-23D
c=-4(-6i+2k)+3-6j+2k-233i-4j+k=
24i-8k+-18j+6k+-2i+83j-23k=22i-463j-83k
v=222+-4632+-832=484+21169+649=65369=26.94
4. Hallar la expresión en componentes y calcular la longitud del vector v con punto inicial (4,8) y punto final (-6,-10). Hallar también suvector unitario u en la dirección de v.
v1=q1-p1=-6-4=-10 v=-10, -18
v2=q2-p2=-10-8=-18

La longitud de v es:

v=-102+-182=100+324=424

El vector unitario u en la dirección de v es:

u=vv=-10, -18424=-10424, -18424

1.3 Producto escalar y vectorial
1.4 Productos triples (escalar y vectorial)

1. Hallar el valor de a de forma que A=2i+aj+k y B=4i-2j-2k seanperpendiculares.

A∙B=A1B1+A2B2+A3B3
A∙B=24+a-2+1-2
A∙B=8-2a-2=6-2a
6-2a=0
-2a=-6
a=-6-2
a=3
2.

A∙B=0 y ninguno de los vectores es nulo, por lo tanto, ambos son perpendiculares
3. Dados A=2i-3j-k y B=i+4j-2k, hallar:

a) A x B

A×B=i j k2 -3 -11 4 -2i j k2 -3 -1=6+4i+-1+4j+8+3k=10i+3j+11k

b) B x A

B×A=i j k14 -22 -3 -1i j k1 4 -2=-4-6i+-4+1j+-3-8k=-10i-3j-11k

c) (A + B) x (A - B)

A+B=2i-3j-k+i+4j-2k=3i+j-3k
A-B=2i-3j-k+-i-4j+2k=i-7j+k

A×B=i j k3 1 -31 -7 1i j k3 1 -3=1-21i+3+3j+-21-1k=-20i+6j-22k
4. Dados tres vectores A=-3i+7j-3k, B=2i+5k, C=i-2j+3k. Encontrar:

a) A∙(B×C) El triple producto escalarA∙B×C= -3 7 -3 2 0 51 -2 3-3 7 -32 0 5=30+42-12-35=25

b) A×(B×C) El triple producto vectorial
B×C=i j k2 0 51 -2 3i j k2 0 5=0+10i+5-6j+-4-0k=10i-j-4k
A×B×C=i j k-3 7 -310 -1 -4i j k-3 7 -3=-28-3i+-30-12j+3-70kA×B×C=-31i-42j-67k

1.5 Aplicaciones físicas y geométricas de los productos escalares y vectoriales.

1. Un niño frena una bicicleta aplicando una fuerza hacia debajo de 70 libras sobre el pedal cuando la manivela forma un ángulo de 55° con la horizontal. Calcular el momento respecto de P si la manivela tiene 20 pulgadas de longitud (dar el resultado en libras-pie) (usar la fórmula de momento Mde una fuerza F respecto de un punto P)

20 pulg=1.66 pies

P

55º
r = 1.66 pies
F = 70 libras
- r y = r sen 55º
M=-ry×F=r sen 55°×F=-1.66 sen 55°70
M=-98.18 libras-pie

2. Dos fuerzas de 18 y 48 libras actúan sobre un objeto formando 30 y 45 grados respectivamente. Calcular la resultante R en libras.

30º
45º
18 Lib.
48 Lib.
Objeto
x
y

165º

R2=a2+b2-2abcosC...