Carranza

Problemas de Cinem´tica del Cuerpo R´ a ıgido.
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica ıa a Facultad de Ingenier´ Mec´nica, El´ctrica y Electr´nica ıa a e o Universidad de Guanajuato. Salamanca, Gto. 36730, M´xico e October 20, 2009

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Problemas Propuestos.

Problema 1. El bloque rectangular que se muestra gira alrededor de la diagonal OA con velocidad angularconstante de 6.76 rad. . Si la rotaci´n es en sentido contrario al de las manecillas del reloj o s. cuando se observa desde A, determine velocidad y aceleraci´n del punto B en el instante indicado.1 o

Figure 1: Gr´fica de un bloque rectangular sujeto a rotaci´n . a o Soluci´n. Primeramente encontraremos un vector unitario en la direcci´n del vector rOA . Se o o tiene que ˆ i j rA/O = 5 in. ˆ +31.2 in. ˆ + 12 in. k.
1 Este es el Problema 15.9 del libro Mec´nica Vectorial Para Ingenieros, Din´mica. Beer, F.P., Johnston, E.R. a a y Clausen, W.E., Octava edici´n, McGraw Hill: M´xico D.F. o e

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Por lo tanto, uOA = ˆ ˆ rA/O 5in. ˆ + 31.2 in.ˆ + 12 in.k i j 25 ˆ 12 ˆ 60 ˆ √ = k = i+ j+ 2 + 31.22 + 122 | rA/O | 169 13 169 5

De estos resultados puede calcularse el vector velocidadangular del bloque rectangular ω como ˆ rad. ω =| ω | uOA = 1 ˆ + 6.24 ˆ + 2.4 k ˆ i j s. Debe notarse que esta definici´n del vector velocidad angular cumple con las caracter´ o ısticas indicadas en la teor´ de la cinem´tica de cuerpos r´ ıa a ıgidos. Adem´s como la magnitud de la velocidad angular es constante y el cuerpo est´ sujeto a a a rotaci´n alrededor de un eje fijo, el vector uOA es constante yω tambi´n es constante. De aqu´ o ˆ e ı que dω = 0. α= dt Finalmente, determinaremos rOB , pues B es el punto cuya velocidad y aceleraci´n se desea o conocer y O es un punto a lo largo del eje de rotaci´n. o ˆ i j rB/O = 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k. Por lo tanto ˆ ˆ ˆ in. i j i j i j vB = ω×rB/O = 1 ˆ + 6.24 ˆ + 2.4 k × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k = −37.44 ˆ + 12.0 ˆ − 15.6 k s. De manerasemejante, rad. aB = α × rB/O + ω × ω × rB/O = ω × ω × rB/O = −126.144 ˆ − 74.256 ˆ + 245.6256 ˆ i j k s2 . Problema 2. En el problema 1, determine la velocidad y aceleraci´n del punto B en el instante o mostrado, suponiendo que la velocidad angular es de 3.38 rad. y que disminuye a raz´n de 5.07 rad. o s. s2 .
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Soluci´n: Del problema 1, se sabe que o uOA = ˆ ˆ 5in. ˆ + 31.2 in.ˆ + 12 in.k i j25 ˆ 12 ˆ 60 ˆ √ k = i+ j+ 169 13 169 52 + 31.22 + 122

De estos resultados puede calcularse el vector velocidad angular del bloque rectangular ω como ˆ rad. ω =| ω | uOA = 0.5 ˆ + 3.12 ˆ + 1.2 k ˆ i j s. o a Puesto que la velocidad angular est´ disminuyendo a raz´n de 5.07 rad. la aceleraci´n angular est´ a o s2 . dado por α =| α | uOA = −5.07 ˆ 25 ˆ 12 ˆ 60 ˆ k i+ j+ 169 13 169 = −0.75 ˆ −4.68 ˆ − 1.80 ˆ i j k rad. s2 .

De esta manera, la velocidad del punto B, est´ dada por a ˆ ˆ ˆ in. vB = ω×rB/O = 0.5 ˆ + 3.12 ˆ + 1.2 k × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k = −18.72 ˆ + 6.0 ˆ − 7.8 k i j i j i j s.
es el Problema 15.10 del libro Mec´nica Vectorial Para Ingenieros, Din´mica. Beer, F.P., Johnston, E.R. a a y Clausen, W.E., Octava edici´n, McGraw Hill: M´xico D.F. o e
2 Este

2De manera semejante, aB = α × rB/O + ω × ω × rB/O = −0.75 ˆ − 4.68 ˆ − 1.80 ˆ × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. ˆ i j k i j k ˆ + 0.5 ˆ + 3.12 ˆ + 1.2 k × i j = ˆ ˆ 0.5 ˆ + 3.12 ˆ + 1.2 k × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k i j i j in. s2 .

j k −3.456 ˆ − 27.564 ˆ + 73.1064 ˆ i

Problema 3. La varilla acodada ABCD gira con velocidad angular constante de 75 rad s alrededor de una l´ ınea que unelos puntos A y D. Si en el instante considerado la velocidad de la esquina C va hacia arriba, determine velocidad y aceleraci´n para la esquina B.3 o

Figure 2: Barra doblada sujeta a rotaci´n alrededor de un eje fijo. o Solucion. Primeramente determinaremos el vector de posici´n del punto A respecto del punto o D, dado por ˆ i j rA/D = −200 mm. ˆ + 120 mm. ˆ + 90 mm. k. De manera que un vector...