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Matriz de una transformación lineal
| Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo delas mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V  W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas paraV y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamosque el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n. Si T (vi ) = ai1w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T |

Ejemplos |
|  Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando comoespejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

a) ¿Matriz A?

Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1) Entonces la matriz la matriz de la transformación es: b) ¿ Matriz B?

Transformado de (1, 0) = (-1, 0)Transformado de (0, 1) = (0, -1)Entonces la matriz la matriz de la transformación es:  Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5  P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3(polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2).

Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}

Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12) Entonces la matriz la matriz de la transformación es: |