Cartilla de algebra lineal

Vectores

Los vectores y las matrices son parte fundamental del algebra lineal moderna. Sir William Hamilton (1805-1865) es el matemático irlandés que estudio y trabajo los cuaterniones como una forma de representar objetos en un plano y el espacio, paso esencial para el desarrollo de los vectores.

Definición de vector.

Es un conjunto de componentes o elementos escritos de forma ordenadaque sintetiza una información dada.

Un vector fila o vector renglón se describe de la siguiente manera: Los vectores de describen con letra minúsculas.

a = (a1 , a2 , a3 . . . an) € Rn

Un vector columna se describe de la siguiente manera:

[pic]

El número de componentes o elemento determinan la dimensión del vector estos el tamaño del si un vectortiene 5 componentes se dice que está en R5

Las componentes tienen un orden que caracteriza a una información ordenada, en el vector fila la componente a1 se le conoce como la componente numero 1, a2 es la segunda componente, y así la ultima componente an ocupa la n-ésima posición.

Definición de vector fila. Vector fila de n componentes: Se define a un vector fila de n componentes como ungrupo ordenados de n números escritos de la siguiente manera
( x1 , x2 , x3 , , , xn )

Ejemplo de vector fila de dos componentes:

(2 , -3 )

Ejemplo de vector fila de tres componentes:

[pic] (2 , -3 , 5)
Ejemplo de vectorfila de cuatro componentes:

(3 , 6 , 5 , 8 )

Definición de vector columna. Vector columna de m componentes: Un vector columna de m componentes es un grupo ordenado de n números escritos de la siguiente manera:
a = [pic]
Ejemplo de vector columna de 4 componentes:b =

Ejemplo de vector columna de 7 componentes:

c =

Ejemplo de un vector columna de 3 componentes y un vector cero.

[pic]

• Los vectores se denotan con letras minúsculas en negrilla.
• Las componentes de un vector se representan por números reales en este escrito, que se simboliza por la letra R (conjuntode todos los números reales). R[pic] indica n componentes de un vector que esta representado por números del conjunto de los reales. Un vector es la mínima expresión de una matriz de igual manera tenemos componentes complejas representadas por C para representar un vector con n componentes a = (c[pic], c[pic],..., c[pic]) se simboliza c[pic]. Por ahora se trabajaran componentes reales.Operaciones Con Vectores

Suma de Vectores: a es un vector de n componentes y b otro vector de n componentes, entonces:

a = (x1, x2, x3,...,xn )
b = (y1, y2, y3,...,yn)

Entonces

a + b = (x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 +...+ xn + yn)

Ejemplo 1

U = (2, 4, 0, 2, 6, 1, 1)
V = ( 2, 4, 0, 3, 6, 5, 8)

U + V = (4, 8, 0, 5, 12, 6, 9)

Multiplicación De Un Vector Por Un Escalar

U es unvector con n componentes y [pic] es un valor del conjunto de los números reales R llamado valor escalar, entonces:

U = (x1, x2,..., xn)
[pic] es un valor escalar

[pic]u = [pic](x1, x2,...,xn)
[pic]u = ([pic]x1, [pic]x2,..., [pic]xn)

Ejemplo de la multiplicación de un vector por un escalar, veamos: a

u = (1,-2, 0, -1, 3), un vector con 5 componentes
[pic]= -2 un valor escalarEntonces

[pic]u = -2(1,-2, 0, -1,3)
Y -2 u=(-2, 4, 0, 2, -6)

Multiplicación Entre Vectores. a es un vector de n componentes y b es otro vector de n componentes, si solo si los vectores a y b tienen igual numero de componentes, entonces el producto de vectores se define también como producto escalar de a y b.

a = (a1 , a2, ...,an) b = (b1, b2, ..., bn )

Esta operación entre vectores se...