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Factorización de polinomios
Polinomios
Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma:
px
a0 a1x a2x2
an 1xn 1 anxn
donde a 0 , a 1 , a 2 , , a n 1 , a n son unos números, llamados coeficientes del polinomio. Si
todos esos coeficientes son números enteros ( 0, 1, 2, ... ) entonces diremos que el
polinomio es un polinomio entero, si son números racionales diremos que es unpolinomio racional, etc. Mientras no se diga lo contrario, en estas notas los coeficientes
del polinomio serán números reales.
El grado del polinomio es el número n : el mayor exponente de la variable x que
aparezca en el polinomio con coeficiente no nulo. Se escribe a menudo p x para
referirse al grado de p x . Cada uno de los sumandos de la forma a i x i que forman el
polinomio se llamamonomio o término (de grado i). Un polinomio es mónico si el
coeficiente del monomio de grado más alto es 1.
Usaremos letras como p, q o también subíndices como en p 1 , p 2 , ..., p k para referirnos a
diferentes polinomios. Suponemos conocidas del lector las operaciones de suma y
producto de polinomios.

Raíces de un polinomio
Un número r es una raíz de un polinomio si al sustituir x por r enel polinomio se
obtiene cero.
pa
a0 a1r a2r2
an 1rn 1 anrn 0
Ejemplo:
Si p x
x2

3x

2, los números 1 y 2 son raíces de p, ya que se tiene:
p1
12 3 1 2 0
p2

22

3 2

2

0

División de polinomios
Dados dos polinomios, p x y q x , a los que llamaremos respectivamente
dividendo y divisor, existen dos polinomios únicos r x (llamado resto) y s x (llamado
cociente) talesque:
px
q x s x r x con grado(r x ) grado(q x )
(1)
Método o algoritmo de la división de polinomios
Es muy parecido al método aritmético de división de números enteros que se aprende
en la escuela; al tiempo que lo describimos iremos desarrollando un ejemplo:
1. Se ordenan los términos (monomios) que forman el dividendo y el divisor en orden

descendente según el grado.

1

Sea p x
x 6x 5 7x 4 8x 3 9x 2 6x 3 el dividendo y q x
x 2 x 1 el
divisor. Imitando lo que se hace en la división de enteros los escribimos así:
x6

x5

7x 4

8x 3

9x 2

6x

x2

3

x

1

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y

obtenemos así el primer término del cociente.
Hemos indicado cuales son los términos que se dividen (x 6 entre x4 ) y colocamos
bajo el divisor el primer
término del cociente:
x6 x5

7x 4

8x 3

9x 2

6x

x2 x

3

1

x4
3. Ese término del cociente se multiplica por todo el divisor y el resultado se resta del

dividendo. Para ello es conveniente escribir el resultado debajo del dividendo con el
signo cambiado y ordenado para que coincidan los términos del mismo grado. El
resultado esel primer resto de la división.
En nuestro ejemplo, x 4 multiplicado por x 2 x 1 es x 6 x 5 x 4 . Colocamos este
resultado, cambiado de signo bajo el dividendo y sumamos:
x6

x5

7x 4

6

5

4

x

x

x
6x 4

8x 3

9x 2

6x

x2

3

x
8x 3

9x 2

6x

x

1

4

3

4. Se repite ahora el proceso, empleando el resto obtenido en lugar del dividendo,

hastaobtener un resto de grado menor que el divisor. Los términos del cociente se
van sumando a continuación del obtenido en el primer paso.
x6

x5

7x 4

x6

x5

8x 3

9x 2

x4

6x

3

x2 x
x4

6x 4 8x 3

9x 2

6x 4

6x 2

1
2x

1

6x 2

6x

3

2x 3 3x 2

6x

3

2x 3

2x

6x 3

2x 2

x 2 4x
x2

3

x
3x

1
2

El resto se ha señaladorecuadrándolo doblemente en este ejemplo. Se ha
obtenido entonces la expresión:
x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 2 6x 3
x 2 x 1 x 4 6x 2 2x 1
3x 2
como muestra del esquema general:
dividendo divisor cociente resto
que también puede escribirse así:
dividendo cociente
divisor

resto
divisor

2

Es decir,
px
qx

rx
con grado(r x ) grado(q x )
qx

sx

Polinomios de grado 2
Un...