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1. Diferenciación e Integración Numérica Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado dela definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas paraaproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas. Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" está dada en términos del límite: De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera fórmula numérica para aproximar laderivada: Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta fórmula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que: Donde está entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta fórmula por f(x) y usamos la definición de tenemos que: Esta fórmula nos dice que aproxima a f(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).Ejemplo 1: Tomamos yqueremos aproximar cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores como función de "h" en escala logarítmica.
2. Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si laaritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O(h2)es preferible a una O(h) ya que los errores (teóricos) tienden a cero másrápido y así la "h" no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita. El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener fórmulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O (h2). Si en lugar de llegar hasta términos de orden dos,expandimos hasta términos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas: Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f(x) obtenemos la fórmula:
3. Donde Y esta entre [x-h, x+h]. Tenemos pues que la formula tiene un error proporcional aO (h2).Ejemplo 2: Comparamos las dos fórmulas obtenidas hasta ahora para aproximar f(x) conel ejemplo de para. Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h: h 0.1 13.5795 4.57948 9.85264 0.852636 0.05 11.0266 2.02656 9.21079 0.210788 0.025 9.95452 0.954519 9.05255 0.0525492 0.0125 9.46337 0.463374 9.01313 0.0131281Este ejemplo ilustra lo superior de la formula. Note que cada vez que h se divide entre dos, el error en la formula se divide por dos(aproximadamente) mientras que en la formula se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?). En forma similar se pueden obtener fórmulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x2h, x3h, etc. Por ejemplo la expansión Nos da una fórmula de orden cuatro para f(x). Es importante observar que mientras más alto el grado de aproximabilidad de la formula, más suave tiene que ser lafunción para que dicha aproximación sea válida. Por ejemplo esta fórmula de orden cuatro requiere que la función tenga cinco derivadas continuas en el intervalo en cuestión mientras que la fórmula de orden dos requiere únicamente tres derivadas continuas. Fórmulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para obtener fórmulas para las derivadas de orden mayor de uno de una...