casa

Polinomios
Pablo De N´poli
a
versi´n 0.8.5
o
Resumen
Este es un apunte de las te´ricas de ´lgebra I, del primer cuatrio
a
mestre de 2007, turno noche, con algunas modificaciones introducidas
en 2014.

1.

Introducci´n
o

Hist´ricamente el ´lgebra surgi´ del estudio de las ecuaciones algebraicas.
o
a
o
Por ejemplo, consideramos la ecuaci´n
o
X 2 = 5X − 6
donde X es un n´merodesconocido que queremos determinar (“una inu
determinada”). Una estrategia para resolverla, consiste en pasar de t´rmino
e
todos los t´rminos a un mismo miembro de la igualdad, para obtener una
e
ecuaci´n igualada a cero:
o
X 2 − 5X + 6 = 0
Esta es una ecuaci´n cuadr´tica de las que se estudian en la escuela
o
a
secundaria. Una expresi´n tal como la que aparece en el primer miembro deo
esta ecuaci´n:
o
P (X) := X 2 − 5X + 6
que se obtiene sumando potencias no negativas de X multiplicadas por
n´meros, se denomina un polinomio en la indeterminada X. Resolver la
u
1

´
Notas de Algebra I - c 2007-2014 Pablo L. De N´poli
a

2

ecuaci´n consiste entonces en determinar los ceros o raices del polinomio,
o
es decir aquellos valores de X para los cuales el polinomiose anula.
Entonces la estrategia consiste en tratar de factorizar el polinomio, esto
es expresarlo como producto de polinomios de grado m´s peque˜o. En este
a
n
caso, esto puede usarse utilizando la t´cnica de “completar el cuadrado”:
e
P (X) =

X−

5
2

2

−

25
+6=0
4

Utilizando entonces la factorizaci´n de una “diferencia de cuadrados”
o
a2 − b2 = (a − b)(a + b)obtenemos:
P (X) =
P (X) =

X−

5
X−
2
5 1
−
2 2

2

−

1
=0
4

X−

5 1
+
2 2

o
P (X) = (X − 2)(X − 3)
Como para que el producto de dos n´meros sea cero alguno de los dos
u
debe ser cero, deducimos que el polinomio se anular´ exactamente cuando
a
X = 2 o cuando X = 3. Estas son pues, los ceros o raices del polinomio P .
As´ pues, vemos que existe una importanteconecci´n entre el problema
ı
o
de encontrar los ceros o raices de un polinomio, y el problema de factorizarlo.
Exploraremos esta conecci´n m´s en detalle en lo sucesivo.
o
a

1.1.

Las estructuras algebraicas de anillo y de cuerpo

Nuestro primer objetivo ser´ dar una definici´n formal del concepto de
a
o
polinomio.
Consideraremos en lo sucesivo polinomios de distintos tipos, como porejemplo con coeficientes enteros como
3X 3 − 5X 2 + 10X − 2
con coeficientes racionales como

´
Notas de Algebra I - c 2007-2014 Pablo L. De N´poli
a

3

3 2 5
X − X + 10
2
2
con coeficientes reales taales como
√
2
X2
−
X +π
2
2
o con coeficientes complejos tales como
(2 + i)X 2 − (3 − i)X + 1
Para poder tratar todos estos casos de una manera unificada, necesitaremos introducir laestructura algebraica de anillo. Informalmente, un anillo
es un conjunto A en el que est´n definidas de alguna manera las operaciones
a
de suma, resta, producto y multiplicaci´n. Veamos una definici´n formal:
o
o
Definici´n 1.1 Un anillo es un conjunto A donde est´n definidas dos opeo
a
raciones 1
+:A×A→A
·:A×A→A
de modo que se verifiquen las siguientes propieades (axiomas de la estructurade anillo):
1. Propiedad Asociativa de la suma:
(a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ A
2. Propiedad Conmutativa de la suma
a + b = b + a ∀ a, b ∈ A
1

Una operaci´n tal como la suma +, en un conjunto A, no es otra cosa que una funci´n
o
o
+ : A × A → A. Por convenci´n, escribiremos
o
a+b
en lugar de +(a, b). Similarmente, escribiremos
a·b
en lugar de ·(a, b).

´
Notas deAlgebra I - c 2007-2014 Pablo L. De N´poli
a

4

3. Existencia de neutro para la suma Existe un elemento 0 ∈ A, tal que:
a+0=0+a=a∀a∈A
4. Existencia de inversos aditivos Para todo a ∈ A, existe un elemento
−a ∈ A, tal que:
a + (−a) = (−a) + a = 0
Notamos que en cualquier anillo se puede definir la operaci´n de resta
o
a − b especificando que:
a − b = a + (−b)
5. Propiedad asociativa del...