Casas

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
“FEDERICO CASTRO”

ALGEBRA

1.- FORMA GENERAL :

ax2 + bx + c = 0 a 0

Donde : a, b, c = coeficientes

Además : Discriminante : = b2 – 4ac

Ejem : Calcula el de : 2x2 + 9x – 5 = 0

Como a = 2 b = 9 c = -5

Reemplazando a, b, c en :

= (9)2 – 4(2) (-5)
= 81 + 40
= 121


2.- RESOLUCIÓN DE UNAECUACIÓN

Fórmula General : x =

Ejem : Resuelve : x2 + 2x – 2 =0
Tenemos : a = 1 , b = 2, c = -2

Luego : x =

x =
x =

C.S. {-1 +}

3.- POR ASPA SIMPLE.-
Sólo cuando la ecuación es factorizable.

Ejem : Resuelve :

x2 – 8x - 9 = 0
x -9x 1

(x – 9) (x + 1) = 0
x – 9 = 0 v x + 1 = 0
x = 9 v x = -1
C.S. = {9; -1}

4.- ANÁLISIS DE LAS RAICES

Dada:ax2 + bx + c = 0 a 0 a, b, c R

1. Si > 0 las raíces son reales y diferentes. La ecuación presenta 2 soluciones.

2. Si = 0 las raíces son reales e iguales. La ecuación presenta solución única.

3. Si< 0 las raíces son imaginarias y conjugadas.

5.- TEOREMAS DE CARDANO- VIETTE

Si x1 x2 son raíces de la ecuación :

ax2 + bx + c = 0 ; a 0 se cumple :

a) Suma de raíces x1 + x2 =

b) Producto de raíces x1 . x2 =

6.- PROPIEDADES

6.1.Legendre : (x1 + x2)2 - (x1 – x2)2 = 4x1 . x2
6.2.Diferencia de raíces :
x1–x2 = ; x1> x2
6.3.Si lasraíces de la ecuación cuadrática son :

a) SIMÉTRICAS

x1 = n
x1 + x2 = 0 x1 = -x2
x2 = - n

b) RECÍPROCAS

x1 = m
x1 . x2 = 1 (m 0)
x2 = x1 =
6.4.Reconstrucción de una Ecuación cuadrática
Siendo x1 x2 raíces de una ecuación cuadrática, entonces dicha ecuación será :

x2 + (x1 + x2) x + (x1 . x2) =0Ejem : Reconstruye la ecuación cuadrática si :
(x - 6)(x + 2) = 0
x2 + ( 2 - 6)x + (-2)(6) = 0
x2 – 4x – 12 = 0

TEOREMA : Si las ecuaciones cuadráticas :

a1 x2 + b1x + c1 = 0

a2x2 + b2x + c2 = 0

Son equivalentes
(poseen el mismo C.S.)

Suma de cuadrados :

x12 + x22 = s2 – 2p
s = suma de raíces
p = producto de raíces
por Cardano

PROBLEMAS RESUELTOS1) Resuelve :
x2 – 9x + 20 = 0

Solución : (Por aspa simple)
x2 – 9x + 20
x -5
x -4

(x – 5) (x – 4) = 0
x – 5 = 0
x = 5
x – 4 = 0
x = 4
C.S = {4; 5}

2) Resuelve:
x2 + 6x + 9 = n2

Solución :
x2 + 6x + 9 - n2 = 0

Por aspa simple :

x (3 + n) = (3 + n) x
x 3 - n = (3 – n) x
6 x(x + 3 + n) (x + 3 – n) = 0
x = -n – 3
x = n – 3
C.S = {n-3; -n-3}

3) Si : “x1” y “x2” son las raíces de la ecuación.
x2 – 3x + 1 = 0
Calcula :
T = x1(x12 + 1) + x2(x22 + 1)
Solución :
T = x13 + x1 + x23 + x2 = x1 + x2 + +
T=x1+ x2 + (x1 + x2) (x12 – x1x2 + x22)
T = [(x1 + x2) (1+x12 – x1x2+x22)] …..(1)

Ahora con las raíces :

x1 + x2 = 3
x1 x2 = 1

(x1+ x2)2 = x12 + 2x1x2 + x22
32 = x12 + x22 + 2(1)
x12 + x22 = 7

Reemplazando en (1)
T = [(3) (1 + 7 - 1)]
T =21
4) Calcula “a” en la ecuación:
x2 – 2x(1 + 3a) + 7 (3 + 2a) = 0

Siendo : x1 = x2 (raíces)
Solución:
Si: x1 = x2 = 0
Luego:

4(1 + 6a + 9a2) – 4(21 + 14a) = 0
1 + 6a + 9a2 – 21 – 14a = 0
9a2 – 8a - 20 = 0
9a +10
a–2
a = 2
a =

Donde:
(9a+10)(a-2) = 0



5) Resuelve:
10x2 + 11x – 6 = 0

Solución:
a= 10
b = 11
c = -6
a =
a =
x =

x = =

C.S. = { -3/2 ; 2/5 }


6) ¿Qué relación guardan los coeficientes de la ecuación?
ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Si una de las raíces es el triple de la otra.

Solución:
x1 + x2 = ...(1)...