Caso 1 y Caso 2 de Factoreo

FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)


8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números. 


EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis (¿por qué el 4?). A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, yvoy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término:  

8a : 4 = 2a                    este término dió "positivo"

Segundo término:

-4b : 4 = -b                   este término dió "negativo"

Tercer término:

16c : 4 = 4c

Cuarto término:

12d : 4 = 3d                  ( ¿Cómo se hacen estasdivisiones? )


De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4". 


Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.  (¿Por qué?)
 
 


CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué el número 4?

Los números8, 4, 16 y 12, son divisibles 4. Como en todos los términos hay números divisibles por 4, se dice que "hay factor común 4". (¿Qué significa "divisible"?). Es decir que el número 4 está multiplicando en todos los términos, porque veamos: 

 8 es igual a 4 x 2 
 4 es igual a 4 x 1
16 es igual a 4 x 4
12 es igual a 4 x 3

Como el número 4 está multiplicando en todos los términos, es un "factorcomún".
(¿Qué es "factor" y  por qué "común"?)

Ahora, no sólo son divisibles por 4, sino también por 2, y hasta por 1. Pero tenemos que sacar el mayor número posible que divida a todos los términos, y ese número es el 4. Es el llamado Máximo Común Divisor (M.C.D o D.C.M). (¿Por qué tiene que ser el mayor número posible?)
Si no podemos darnos cuenta intuitivamente de cuál es ese número,entonces podemos usar la regla del D.C.M para calcularlo. (¿Cómo se calcula el D.C.M o M.C.D?). Es decir que el "factor común" que nos piden sacar entre varios números es su Máximo Común Divisor.


Un ejemplo donde no haya factor común entre los números:

3a2b + 5ac + 7a3d =

Aquí no hay un número que sea factor común, ya que 3, 5 y 7 no tienen ningún divisor en común, es decir, no sondivisibles por ningún otro número que no sea el 1 (y el 1 no se tiene en cuenta como factor común, pues dividir por 1 no cambia nada).

FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1


EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en eltercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).


EXPLICACIÓN:

Nota: Para entender este caso, primero hay que saber sacar Factor Común, es decir, saber aplicar elPRIMER CASO DE FACTOREO.

PASO 1: Agrupación de a dos términos

Agrupo de la siguiente manera:

4a con 4b  (ya que entre hay factor común "4" entre ellos). Y, por otrolado: 

xa con xb  (ya que hay factor común "x" entre ellos)

(¿se podría haber agrupado de otra forma?)

Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a + b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(a + b)

Como estoy sacando factor común "positivo", la "x" es positiva, y por eso las dos expresiones quedan sumando, así:

4. (a + b) + x. (a + b) Ese signo "+" puedo pensar que corresponde a la x, porque saqué factor común positivo x, es decir "+ x". (pero quiero estar más seguro)


PASO 2: Sacar factor común (a + b)

En lo que quedó en el paso anterior, puedo ver algo que está "repetido". Es la expresión (a + b). Y está multiplicando en los dos términos que tiene ahora el polinomio (¿cuáles son los dos términos?).
Si algo está...