casos de euler

Producto de Euler


Leonhard Euler.
En matemática, un producto de Euler es la expansión de un producto infinito, indexado por números primos p de una serie de Dirichlet. El nombre surge del casoespecial de la función zeta de Riemann, cuya representación en forma de producto, fue demostrada por Leonhard Euler en 1737.
Índice [ocultar]
1 Definición
2 Ejemplos de productos de Euler
3Véase también
4 Referencias
5 Enlaces externos
[editar]Definición

En general, una serie de Dirichlet de la forma

donde a(n) es una función multiplicativa de n, puede ser escrita de la formadonde P(p,s) es la suma

En efecto, si consideramos éstas como funciones generadoras de manera formal, la condición necesaria y suficiente para la existencia del producto de Euler equivalente a laserie es que a(n) sea multiplicativa, o sea, que a(n) sea igual al producto de a(pk) para los distintos factores primos p que componen n.
Un caso importante es cuando a(n) es una función totalmentemultiplicativa, donde se cumple que P(p,s) es una serie geométrica. Entonces

como puede ser el caso de la función zeta de Riemann, donde a(n) = 1, y más generalmente, para los caracteres de Dirichlet.En la práctica, todos los casos importantes a tener en cuenta son las series y productos infinitos que son absolutamente convergentes en cierta región

o sea, en la parte derecha del semiplanoformado por números complejos. Esto da también alguna información, dado que el producto infinito, al converger, debe dar una valor distinto de cero, y también que la función dada por la serie infinita noes cero en dicho semiplano.
[editar]Ejemplos de productos de Euler

El producto de Euler correpondiente a la función zeta de Riemann (véase aquí), usando también la suma de series geométricas es:
.El producto de Euler de la función de Möbius es:
.
Productos más específicos derivados de la función zeta son:

donde es la función de Liouville, y
.
De manera similar

donde cuenta el...