Casos de factoreo

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CASOS DE FACTOREO
1 ER CASO: FACTOR COMUN

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x- 4x3 + 3x2 - x6)

El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)

El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

2DO CASO: FACTOR COMUN EN GRUPOS

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

4a +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).


EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")

4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)

4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultadodesordenado")

4a  -  4b  -  xb  +  xa =

4.(a - b)  +  x.(-b + a) =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

      (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos")

4a  -  4b  -  xa  +  xb =

4.(a - b)  +  x.(-a + b) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

       (a - b).(4 - x)En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos. Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo)

EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")

4a  -  4b  +  xb  -  xa =

4.(a - b)  +  x.(b - a) =

4.(a - b)  -  x.(-b + a) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

      (a - b).(4 - x)Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)

-4a  -  4b  -  xa  -  xb =

-4.(a + b)  -  x.(a + b) =

      (a +b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la "EXPLICACIÓN", también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo.
3ER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

EJEMPLO 1: (Términos positivos)

x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean"cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

EJEMPLO 2: (Con el "1")

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x            1
    2.1.x
      2xRecordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1.
La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.
El resultado es (x + 1)2

EJEMPLO 3: (Con fracciones)

x2  +   8/3 x  +  16/9 = (x + 4/3)2

x                      4/3
      2. 4/3 . x
        8/3 x

La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

EJEMPLO 4: (Con un término negativo)

x2  ...