Casos de factoreo

La factorización es el proceso mediante el cual los polinomios son descritos como productos de otros polinomios donde cada polinomio en el producto se conoce como factor del polinomio y pueden ser de grado uno o mayores lográndose así reemplazar una expresión complicada por un producto de factores líneas siendo por tanto la factorización muy útil a la hora de simplificar expresiones así como enla resolución de ecuaciones.
A efectos didácticos la factorización de polinomios se ha dividido en diez casos de factoreo pero fuera de estos diez casos se puede decir que el primer ejemplo de factorización es la factorización de un monomio los cuales se pueden definir por simple inspección así los factores de 15ab son 3, 5, a y b
Antes de entrar en los diferentes casos de factoreo es necesariodejar claro que no tod polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues de la misma manera que existen números primos que son solo divisibles por uno y por ellos mismos, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas misma y por 1 y que por tanto no son el producto de otras expresiones algebraicas como es el caso de a+b que no puede descomponerse en dosfactores distintos ya que solo es divisble por 1 y por a+b.
Casos de factoreo
Caso 1: El factor común
El primer paso consiste en determinar si los términos tienen un factor común y estos pueden ser del tipo de monomio o polinomio .
Caso 1 monomios: Descomponer en factores:
a2 +2a tienen en común la letra a por lo que nos queda a(a+2)
10b-30ab2 tienen en común 10b lo que nos da 10b(1-3ab)10a2-5a+ 15a3 tiene en común 5a quedando 5a(2a-1+3a2)
Todos los casos anteriores corresponden a factores comunes del caso monomio, a continuación veremos el caso de los polinomios
Caso dos polinomios: Descomponer en factores
x(a+b)+m(a+b) tienen en común el polinomio (a+b) quedando (a+b)(x+m)
2x(a-1)-y(a-1) tienen en común el polinomio (a-1) quedando (a-1)(2x-y)
2x(x+y+z)-x-y-z puede transformarsea 2x(x+y+z)-(x+y+z) y tienen en común el polinomio (x+y+z) qudando (2x-1)(x+y+z).

Caso 2: El factor común por agrupación de términos
El proceso consiste en la identificación de términos que sean comunes a partes del polinomio, la agrupación puede hacerse de diferentes maneras con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor en común y siempre que las cantidades que quedandentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Ejemplo: Descomponer en factores ax+bx+ay+by.
ax+bx+ay+by = (ax+bx)+(ay+by)
= x(a+b)+y(a+b)
= (a+b)(x+y)
El mismo ejercicio pudo haberse resuelto de la siguiente forma:
ax+bx+ay+by = (ax+ay)+(bx+by)= a(x+y)+b(x+y)
= (x+y)(a+b).
Descomponer en factores 3m2–6mn+4m-8n
3m2–6mn+4m-8n = 3m(m–2n)+4(m-2n)
= (m-2n)(3m+4)

Caso 3: Trinomio cuadrado perfecto
Antes de poder aplicar este caso es necesario conocer en que consiste un cuadrado perfecto y esto se da cuando estamos ante el producto de dos factores iguales así el cuadrado de 2a será el producto de 2a x 2a osea 4a2 así podemosdecir que también se puede decir que 4a2 es el cuadrado de 2a o lo que es lo mismo decir que 2a es la raíz cuadrada de 4a2.
Es necesario ver que por la ley de signos tanto el producto de (2a)(2a) como el de (-2a)(-2a) dan como producto 4a2 por lo que la raíz cuadrada de una cantidad positiva posee una raíz de signo positivo y otra de signo negativo pero para efectos de este estudio solo seconsiderarán las raíces positivas de los cuadrados positivos.
Para obtener la raíz cuadrada de un monomio lo que se hace es extraer la raíz cuadrada de su coeficiente y dividir entre dos los exponentes que posee así la raíz cuadrada de 36x6y8 es 6x3y4.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, osea el prodcuto de dos binomios iguales, así a2+ 2ab + b2 es cuadrado...