Casos de Factorizaci n

Casos de Factorización
1. Factor Común:

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)
El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)

El factorcomún es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.

5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5)

Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5

2. Factor común en grupos:
(Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Sacofactor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).


(Con términos negativos)


4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

3. Trinomio cuadrado perfecto:
x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 


x2  +   8/3 x  +  16/9= (x + 4/3)2

x                      4/3
      2. 4/3 . x
        8/3 x

La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

x6  +  10x3  +  25 = (x3 + 5)2

x3                  5
       2.x3.5
        10x3

Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es iguala (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).

x2  +  2  x  +  3 = (x +  )2

x                      
        2.x. 
        2 x

El 3 no es cuadrado de ningún número entero. Pero... es cuadrado de  . Porque que ()2 es igual a 3. Entonces el caso se puede aplicar dejando "expresados" los radicales.

4. Cuadrinomio cuadrado perfecto:

x3   +   6x2   +  12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".
-x3    -    75x    -    15x2    -    125 = (-x - 5)3

-x                                          -5
       3.(-x)2.(-5)   3.(-x).(-5)2             -15x2        -75x


Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.



x3   +   3/2 x2   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)3

x                                        1/2
        3.x2. 1/2    3.x.(1/2)2
          3/2 x2       3/4 x

Las bases son x y 1/2,ya que (1/2)3 es igual a 1/8.

64x3  +  144x2  +  108x  +  27 = (4x + 3)3

4x                                   3
          3.(4x)2.3   3.4x.32
            144x2     108x
Las bases son 4x y 3. Porque (4x)3 es igual a 64x3, y 33 es igual a 27. El número que multiplica a la x3 debe ser también un cubo para que todo el término sea cubo. Y el 64 es cubo de 4.
5. Diferencia de cuadrados:
x2 - 9 = (x +3).(x - 3)

x     3 

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".
x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x      3/5

9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2) 

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una...