Casos de factorizacion

Investiga en el texto básico, la web u otras fuentes bibliográficas acerca de los casos de factorización y redacta un informe escrito donde expliques el procedimiento para factorizar cada caso y plantea al menos un ejemplo de cada uno.


Factorización
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos.Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios
Factor común


Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común deun polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factorescomunes.

Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da X.


 
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
Un ejemplo:

Se apreciaclaramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:


Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio poragrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)





Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas,y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar elparéntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.



Ejemplo 1:


Ejemplo 2:


Ejemplo 3:


Ejemplo 4:


Organizando los términos tenemos


Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:


Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es- 20xy  determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro positivo.

O en unaforma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Ejemplo 1:


Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.




La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto...