Casos especiales del método símplex

NVESTIGACION DE OPERACIONES:
CASOS ESPECIALES DEL MÉTODO SIMPLEX.

SOLUCIÓN DEGENERADA:
Si se presenta un empate en la variable que sale de forma repetida, una variable básica tomará valor cero, esto hace que la solución sea degenerada. Lo anterior es debido a la existencia de a lo menos una restricción redundante.

Un empate al elegir la variable que sale se rompe arbitrariamente. Elproblema ocurre en la siguiente iteración donde los valores de una o más variables básicas llegan a ser cero, en cuyo caso se dice que la solución es degenerada. En este punto no existe la seguridad de que el valor de la función objetivo mejorará, ya que la nueva solución óptima puede permanecer degenerada de ser así, es posible que las iteraciones del simplex entren en un circuito que repetirá lasmisma(as) sucesión de iteraciones sin alcanzar nunca la óptima.
El problema se conoce como ciclaje y afortunadamente raras veces se presenta en la práctica. En una situación de degeneración es esencial llevar las iteraciones del método simplex hasta que se satisfaga completamente la condición de optimidad.

EJEMPLO:
Maximizar
Sujeto a:
 
V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |Z | 1 | -3 | -9 | 0 | 0 | 0 |
S1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 8 |
S2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 4 |

V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | -3/4 | 0 | 9/4 | 0 | 18 |
X2 | 0 | 1/4 | 1 | 1/4 | 0 | 2 |
S2 | 0 | 1/2 | 0 | -1/2 | 1 | 0 |

V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | 0 | 0 | 3/2 | 3/2 | 18 |X2 | 0 | 0 | 1 | 1/2 | -1/2 | 2 |
S2 | 0 | 1 | 0 | -1 | 2 | 0 |
 

  | X1 | X2 | S1 | S2 | Z |
Tabla 1 | 0 | 0 | 8 | 4 | 0 |
Tabla 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 18 |
Tabla 3 | 0 | 2 | 0 | 0 | 18 |

MULTIPLES SOLUCIONES ÓPTIMAS:
Se presenta cuando la función objetivo es paralela a una restricción activa (se satisface como igualdad en la solución óptima),en este caso hay infinitas soluciones.
Desde el punto de vista práctico permite escoger la solución que mejor se adapte a la situación.

Existen problemas que tienen más de una solución óptima. En este caso se dice que se tienen soluciones óptimas múltiples debido a que la solución óptima se encuentra en un segmento de recta que es acotado por una de las restricciones. 

Maximizar  Sujeto a:

V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | -4 | -14 | 0 | 0 | 0 |
S1 | 0 | 2 | 7 | 1 | 0 | 21 |
S2 | 0 | 7 | 2 | 0 | 1 | 21 |

V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 42 |
X2 | 0 | 2/7 | 1 | 1/7 | 0 | 3 |
S2 | 0 | 4/7 | 0 | -5/7 | 1 | 15 |

Nota: Si existe un cero en el primer renglón significa que haysoluciones óptimas múltiples.

V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 42 |
X2 | 0 | 0 | 1 | 7/45 | -2/45 | 7/3 |
X1 | 0 | 1 | 0 | -2/45 | 7/45 | 7/3 |

SOLUCIONES NO ACOTADA:
Se presenta cuando el espacio de soluciones no está acotado en la dirección hacia donde aumenta o disminuye la función objetivo, según el modelo sea demaximización o minimización. Si en cualquier iteración los coeficientes de las restricciones de una variable no básica son no positivos, entonces el modelo no está acotado en la dirección de esa variable. Si el coeficiente de la función objetivo es negativo en maximización o positivo en minimización, entonces el valor de la función objetivo tampoco está acotado.

Maximizar
Sujeto a:
 

 V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | -2 | -1 | 0 | 0 | 0 |
S1 | 0 | 1 | -1 | 1 | 0 | 10 |
S2 | 0 | 2 | -1 | 0 | 1 | 40 |
 
V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | 0 | -3 | 2 | 0 | 20 |
X1 | 0 | 1 | -1 | 1 | 0 | 10 |
S2 | 0 | 0 | 1 | -2 | 1 | 20 |
 
V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | 0 |...