Casos factoreo

Cuarto caso de factoreo: cuatrinomio cubo perfecto

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x

Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".EJEMPLO 2: (Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27  =  (x - 3)3

x                                 -3
     3.x2.(-3)    3.x.(-3)2
        -9x2          27x

Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27.
Y los dos "triple-productos" dan bien.
El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3

EJEMPLO 3: (Con todos los términos negativos)

-x3    -    75x   -    15x2    -    125 = (-x - 5)3

-x                                          -5
       3.(-x)2.(-5)   3.(-x).(-5)2
            -15x2        -75x

Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.

EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x3   +   3/2 x2   +   3/4x   +   1/8 = (x + 1/2)3

a=x                                        b=1/2
        3.x2. 1/2    3.x.(1/2)2
          3/2 x2 

EJEMPLO 5: (Con un número multiplicando a la x3)

64x3  +  144x2  +  108x  +  27 = (4x + 3)3

4x                                   3
          3.(4x)2.3   3.4x.32
            144x2     108x
Las bases son 4x y 3. Porque (4x)3 es igual a 64x3, y 33 es igual a27. El número que multiplica a la x3 debe ser también un cubo para que todo el término sea cubo. Y el 64 es cubo de 4.

EJEMPLO 6: (Con varias letras)

a3b3  +  3a2b2x  +  3abx2  +  x3 = (ab + x)3

a=ab                                    b= x
         3.(ab)2.x    3.ab.x2
          3a2b2x      3abx2

Las bases son ab y x. Ya que (ab)3 es igual a a3b3.
Para que un producto sea cubo, ambosfactores deben ser cubos.

EJEMPLO 7: (Con potencias distintas de 3)

x6 +  6x4  +  12x2  +  8 = (x2 + 2)3

a=x2                          b=2
     3.(x2)2.2  3.x2.22
         6x4        12x2

Las bases son x2 y 2, ya que (x2)3 es igual a x6.

EJEMPLO 8: (Un ejemplo con todo)

3/4 x4y2    -    1/8 x6y3   + 1  -  3/2 x2y =

                   a= -1/2 x2y     b= 1
3.(-1/2x2y)2.1                      3.(- 1/2 x2y).12
3/4 x4y2                                        -3/2 x2y

En este ejemplo tenemos: varias letras, potencias distintas de 3, fracciones, términos negativos, el número "1"; y además está "desordenado". Las bases son -1/2 x2y, y 1. Ya que (-1/2 x2y)3 es igual a -1/8 x6y3; y 13 es igual a 1.

PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel Medio)

EJEMPLO 9:  ("Concubos que no son cubos". O "Con raíces")

5x3    +    6x2     +    12 x    +    8 = ( x + 2)3

a=x                                                 b=2
          3.(x)2.2         3.x.22
             3..x2.2       12x
               6x2

El 5 no es cubo de ningún número racional, pero hay que tomarlo como cubo si se quiere factorizar este polinomio. Se puede hacer esto porque 5 enrealidad sí es cubo de algo, es cubo de un número irracional . Ya que ()3 = 5.

SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EJERCICIOS RESUELTOS
Si n es impar: xn-an, divido por (x-a)
Xn+an, divido por (x+a)
Si n es par: xn+an no tiene raíces
Xn-an, divido por (x-a)

EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 -2x3 + 4x2 - 8x + 16)
a=x       b= 2

  | 1  0  0  0  0  32
  |
  |
-2|   -2  4 -8  16 -32
    1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido...