Casos Vii Y Viii De Factorizacion

CASO VII: TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
Hay que convertir el trinomio de la forma ax2+bx+c a este trinomio: (ax)2+b(ax)+ca
a .
o de otra forma: a(ax2+bx+c)
a
Son trinomios de esta forma:
2x2+11x+5
3a2+7a-6
10n2-n-2
7m2-23m+6
Que se diferencian de los trinomios estudiados en los casos anteriores en que el primer término tiene uncoeficiente distinto de 1
DESCOMPOSICION EN FACTORES DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
Ejemplos:
1. Factorar 6x2-7x-3
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y dejando indicando el producto de 6 por 7x se tiene
36x2-6(7x)-18
Pero 36x2=(6x)2 y 6(7x)=7(6x) luego podemos escribir: (6x)2-7(6x)-18
Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el 1er. Termino decada factor será la raíz cuadrada de (6x)2 o sea 6x: (6x- )(6x+ ).
Dos números cuya diferencia sea 7 cuyo producto sea 18 son 9 y 2. Tendremos: (6x-9)(6x+2).
Como al principio multiplicamos el trinomio dado por 6, ahora tenemos que dividir por 6, para no alterar el trinomio y tendremos (6x-9)(6x+2)
6
Pero como ninguno de los trinomios es divisible por 6, descomponemos 6en 2x3 y dividiendo (6x-9) entre 3 y (6x+2) entre 2 se tendrá:
(6x-9)(6x+2) = (2x-3)(3x+1)
2x3 . .
Luego: 6x2-7x-3 = (2x-3)(3x+1). R.
2. Factorar 20x2+7x-6
Multiplicando el trinomio por 20, tendremos: (20x)2+7(20x)-120.
Descomponiendo este trinomio, tendremos: (20x+15)(20x-8).
Para cancelar la multiplicación por 20, tenemos que dividir por 20 pero comoninguno de los dos binomios es divisible por 2, descomponeos el 20 en 5x4 y dividiendo el factor (20x+15) entre 5 y (20x-8) entre 4 tendremos:
(20x+15)(20x-8) = (4x+3)(5x-2)
5x4 . .
Luego: 20x2+7x-6 = (4x+3)(5x-2). R.

3. Factorar 18a2-13a-5
Multiplicando por 18: (18a)2-13(18a)- 90
Factorando este trinomio: (18a-18)(18a+5)
Dividiendo por 18, para lo cual, elprimer binomio 18a-18 es divisible por 18 basta dividir este facto entre 18, tendremos:
(18a-18)(18a+5) = (a-1)(18a+5)
18 ..
Luego: 18a2-13a-5 = (a-1)(18a+5) R.
Este caso de: trinomio de la forma ax2+bx+c también se puede resolver mediante el uso del método de la FORMULA GENERAL:
x=-b±b2-4ac2a
Ejemplos:
1. Factorar 2x2+3x-2
Se nos dan los datos:
a=2
b=3c=-2
Luego se sustituyen los datos dados en la formula; ésta quedaría de esta forma:
x=-(3)±(3)2-4(2)(-2)2(2)
Primero tenemos que sacar el resultado del “discriminante”, que, en la formula seria, b2-4ac, quedando, en este caso así:
x=-(3)±9-4(-4)2(2) Luego, x=-3±9+162(2) después, siguiendo el orden, se multiplica el denominador: 2(2)=4, y se suma lo que antes era el discriminante, que seria:9+16=25, x=-3±254 se saca la raíz cuadrada de el “discriminante” que seria: x=-3±54 de ahí se saca el valor de x1 y x2 que serian
x1=-3+54 = x1=24 = x1=0.5
x2=-3-54 = x2=-84 = x2=-2
Entonces: a(x+x1)(x-x2), sustituimos datos y por lo tanto la factorización de 2x2+3x-2 es: 2(x+2)(x-0.5)

2. Factorar 15a2-8a-12
Datos:
a=15
b=-8
c=-12
Sustituimos datos:x=-(-8)±(-8)2-4(15)(-12)2(15)
Sacamos el discriminante: x=-(-8)±64-4(-180)2(15) luego, x=8±64+7202(15) después se multiplica el denominador, y se suma el discriminante x=8±78430; sacar la raíz cuadrada del discriminante x=8±2830; sacar valor de x1 y x2:
x1=8+2830 = x1=3630 = x1=3630
x2=8-2830 = x2=-2030 = x2=-23
Entonces: a(a+x1)(a-x2), sustituimos datos y por lo tanto la factorización de15a2-8a-12 es: 15(a-6/5)(a+2/3)

CASO VIII: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
(a+b)3 = (a+b)(a2+2ab+b2) = a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3 = (a-b)(a2-2ab+b2) = a3-3a2b+3ab2+b3
Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:
* Tener cuatro términos
* Que el primero y el ultimo termino...