Casquetes Cilindricos

Cálculo Diferencial e Integral - Volumen de un sólido. Objetivos a cubrir
Volumen de un sólido : Secciones transversales. Volumen de un sólido de revolución : Método del disco. Método de la arándela. Volumen de un sólido de revolución : Método de los cascarones.

Prof. Farith J. Briceño N. Código : MAT-CDI.9

Ejercicios resueltos Ejemplo 1 : Sea S un sólido con base circular de radio 1. Lassecciones transversales paralelas, perpendiculares a la base, son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido. Solución : Consideremos que el círculo está centrado en el origen de coordenadas, es decir, tiene ecuación x2 + y 2 = 1.
y 1

0.5

0 -1 -0.5 0 0.5 1 x -0.5

-1

Círculo de centro (0; 0) y radio 1. x2 + y 2 = 1

Sean p (x; y1 ) y B (x; y2 ) puntos del círculo, así, Ay= 1 x2 , con lo cual la base del triángulo ABC, es p p jABj = 1 x2 1 x2 ; es decir, p jABj = 2 1 x2

y el volumen del sólido es

Dado que el triángulo es equilátero, el área de la sección transversal es p p 3 p 3 2 2 1 x2 A (x) = A ABC = (base) = 4 4 V =
1 Z

2

=

p

3 1

x2

A (x) dx =

1

1 Z p 1

3 1

x2

dx =

p 4 3 : 3 F

Ejemplo 2 : Determinar el volumen deuna cuña, cortada por un cilindro circular por un plano, que pasando por el diámetro de la base está inclinado respecto a ella formando un ángulo . El radio de la base es igual a R.

1

Solución : Tomamos el eje x como el diámetro de la base, por el que pasa el plano de corte y el eje y, perpendicular al anterior. La ecuación de la circunferencia de la base será x2 + y 2 = R2 .

Se puedeveri…car por triángulos semejantes que la sección transversal, ABC, de la cuña perpendicular al diámetro que se encuentra a la distancia x del origen de coordenada 0 es un triángulo rectángulo isósceles. Si denotamos por y (x) a la base y altura de este triángulo, entonces el área de la sección transversal, ABC, será igual a A (x) = A Por lo tanto, V =
2 2 2 R Z ABC

=

1 1 jABj jBCj = y (x) y(x) tan 2 2
R Z

=

y 2 (x) tan : 2

A (x) dx =

y 2 (x) tan 2 p R2

dx

R

R

Despejando de x + y = R la expresión y, se tiene que y (x) = V =
R Z

x2 , y puesto que y es una función par, obtenemos
R Z 0

1 A (x) dx = 2 2

R

R Z 0

y (x) tan

2

dx = tan

R2

x2

dx =

2 tan : 3 F

Ejemplo 3 : Los ejes de dos cilindros horizontales, ambos de radio a, seintersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen de su sólido de intersección. Solución : Tenemos

-2 -1 1 0.5 00 -0.5 -1

-2

1 z 2 x

1 2 y

Cilindros horizontales que se intersectan perpendicularmente

Sólido intersección entre los cilindros

Observemos que cada sección transversal es un cuadrado, cuyo lado se extiende a lo largo de los dos círculos que generan los cilindros, asía a Z Z p 2 16a3 V = 2 a2 x2 dx = 4 a2 x2 dx = 3
a a

F

2

Ejemplo 4 : Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las curvas y = x3 + x2 + 2x + 1, x = 1 y los ejes coordenados alrededor de la recta vertical x = 2. Solución : Obtenemos la gra…ca de la región en el intervalo [0; 1]. Así Si x = 0 entonces y = (0) + (0) + 2 (0) + 1 = 1 Si x = 1 entonces y =(1) + (1) + 2 (1) + 1 = 5 además, la función y = x3 + x2 + 2x + 1 es creciente en [0; 1], ya que y 0 = x3 + x2 + 2x + 1 por lo que,
y

3

2

3

2

0

= 3x2 + 2x + 2 > 0;

5

3.75

2.5

1.25

0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 x 1.5

Región limitada por las curvas y = x + x2 + 2x + 1; x = 1; eje x y eje y
3

Observe que el comportamiento de la función fuera del intervalo [0; 1] noes de interés para la obtención del volumen del sólido. Como debemos girar alrededor de la recta x = 2 usamos el método de las capas (también conocido como el método de las envolventes cilindrícas ó el método de los cascarones).
y y 6

5

3.75 4

2.5 2 1.25

0 0 0.5 1 1.5 2 x 2.5

0 0 1.25 2.5 3.75 x 5

Rectángulo representativo para el método de las capas Como es conocido, el...