Cata

Teor´ de la Dimensi´n en Espacios Vectoriales
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Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
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29 de octubre de 2009

17.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . .
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17.2. Resultadosmatem´ticos necesarios . .
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17.3. Teorema del intercambio . . . . . . . .
17.4. Teorema fundamental de la dimensi´n
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17.5. Definici´n de la dimensi´n . . . . . . .
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17.6. Numerolog´ enEspacios Vectoriales .
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17.7. Procesos de C´lculo . . . . . . . . . .
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17.8. Ejemplos sobre teor´ . . . . . . . . .
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17.9. Ejemplos de c´lculo . . . . . . . . . .
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Introducci´n
oNuestra meta consiste en decir con precisi´n que cosas deben permanecer fijas en un espacio generado en
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un espacio vectorial. El concepto te´rico importante es el de dimensi´n de un espacio vectorial. Elresultado
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t´cnico m´s importante es el teorema del intercambio: A partir de ´l, se deduce que cualquier dos bases a un
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mismo espacio vectorial deben tener el mismo n´mero deelementos. Esto permitir´ definir la dimensi´n de
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un espacio vectorial.
Esta sesi´n termina con una serie de resultados relativos al n´mero de elementos de un conjunto generador y
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u
de unconjunto linealmente independiente en su relaci´n con la dimensi´n del espacio vectorial.
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Resultados matem´ticos necesarios
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El resultado matem´tico importante es el teorema del intercambio,pero para su demostraci´n se requerien
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ciertos resultados matem´ticos. En lo siguiente V es un espacio vectorial.
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El primer resultado dice que si un vector es combinaci´n lineal de otrosentonces el espacio generado con ´l
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y esos otros es igual al que generan esos otros vectores. Este resultado tiene varias interpretaciones. En la
primera indica que si un vector es combinaci´nlineal de los otros y se a˜ade al conjunto generador, entonces
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no se genera m´s de lo que ya se generaba. En otra interpretaci´n dice que si tal vector se omite del conjunto
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generador,...