Catenaria

Catenaria

Catenarias.
Para el sistema de electrificación de alta potencia de los ferrocarriles, véase Catenaria (ferrocarril).
Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por susextremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus (propio de la cadena). Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena,cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evolutade la catenaria es la tractriz.
Historia
Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontróla ecuación de la catenaria.
La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue elprimero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.
Descripción matemática
La condición de equilibrio deun cable sometido a su propio peso vertical lleva a un problema de equilibrio en el plano (la catenaria es siempre una curva plana si se puede despreciar la rigidez flexional del cable). De lacondición de equilibrio local de cada punto se desprende la siguiente ecuación diferencial para la pendiente de la catenaria, que relaciona las tensiones en los extremos de un tramo y el peso del mismo (verdeducción de la catenaria):
(1)
Donde:
es el peso por unidad de longitud.
la tensión horizontal que aparecerá en los extremos del cable.
La solución general viene dada por:
(2)

Trescatenarias diferentes a través los mismos puntos, dependiendo de la fuerza horizontal , siendo .
La solución para de la ecuación anterior para un cable suspendido de dos puntos a la misma altura y cuyo...