Catenaria

Función Catenaria
“Una sutil belleza que no somos capaces de ver”
Por: Jorge Cortes C.

Introducción

Por desgracia el mundo moderno se ha vuelto dependiente de la electricidad, pero ese no es el problema, sino que llevarla hasta nuestros hogares existen kilómetros y kilómetros de cable que se retuercen y doblen por una infinidad de postes y torres de alta tensión provocando un agresivoquiebre en el paisaje natural. Pero ¿Alguna vez haz mirado una torre de alta tensión y visto la sutil belleza en que cuelgan los cables? ¿Te haz preguntado si aquella belleza puede ser descrita por las matemáticas? Quizás nunca lo hiciste, aunque la respuesta de la pregunta es sí. Existe una función matemática llamada Catenaria que describe el comportamiento de los cables y cadenas de peso uniformeal ser suspendidos de sus extremos. Durante muchos años se pensó que dicha función era una parábola hasta que se demostró que realmente era una función hiperbólica y/o exponencial. En este artículo conoceremos más a fondo a esta belleza de las matemáticas que nos rodean pero no somos capaces de ver.

Función Catenaria

Experimente Previo Para llevar a cabo nuestro experimento necesitaremosuna cadena de joyería, un papel milimetrado, dos alfileres y un cartón. Primero dibujaremos una línea horizontal en el papel y luego trazaremos una perpendicular al punto medio de dicha línea (Estas líneas deben estar dibujadas sobre las líneas principales del papel). Luego hay que pegar el papel milimetrado sobre el cartón. Con los dos alfileres fijaremos los extremos de la cadena a los puntosinicial-final de la línea horizontal que trazamos previamente. Suspendemos verticalmente el cartón y procedemos a marcar el vértice de la cadena, es decir, el punto más bajo, este punto será para nuestra conveniencia el punto (0,0) del sistema de coordenadas que estableceremos. Luego con mucho cuidado marcaremos los valores que toma la curva para x = 1,2,3…n. Y por ultimo procederemos a retirar ymedir la cadena. Con esta información confeccionaremos una tabla. Nótese que la curva que describe la cadena es simétrica, por lo tanto sólo trabajaremos con valores positivos.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y 0 0,3 0,9 1,9 3,4 5,8 9,4 14,4 21,4

Tabla a: Tabulación de los datos obtenidos en un experimento real.

Figura 1: Muestra la curva obtenida de los datos en forma Empírica.

Ahora estamos encondiciones de presentar una función que represente a la cadena. Sea f: [c,d] → IR. Se denomina catenaria a la siguiente función: ������ ������ ������ = ������(cosh − 1) ������ Siendo [c,d] las coordenadas x de los extremos. Al inicio del artículo comente que la catenaria era una función hiperbólica y/o exponencial, esto se debe a que el coseno hiperbólico puede ser representado de la siguienteforma: cosh ������ = ������ ������ + ������ −������ 2

Combinando ambas ecuaciones obtendremos que: ������ ������ + ������ −������ ������ ������ = ������( − 1) 2
������ ������

Ahora bien, muchos de ustedes se preguntaran que hacemos con el valor de a, para ellos necesitaremos un punto, de preferencia debe ser uno de los extremos de la cadena, pero de ningún modo puede ser el vértice, porqueentrega una solución vacía. Para encontrar este resultado recurrimos a un programa de computadora, o para quienes tengan conocimientos de métodos numéricos para encontrar raíces de funciones como es el método de Newton podrán encontrar resolviendo: ������������ ������������ − cosh + 1 = 0 ������ ������

Pero dependiendo del punto que elijan encontraran que existen diversos valores para a, comomuestra la tabla b, pero el punto que con fue fijado con mayor exactitud es el extremo de la cadena, por eso ocuparemos el valor para a=2,815226247.

(x,y) (1,0.3) (2,0.9) (3,1.9) (4,3.4) (5,5.8) (6,9.4) (7,14.4) (8,21.4)
Tabla b

a 1,714457132 2,358608966 2,635469688 2,785964167 2,794908054 2,782175539 2,797045039 2,815226247

Figura 2: Muestra la grafica de la catenaria ������ = 2.8152 ∙...