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Distribución Binomial
Objetivo.-

Exponer la Distribución Binomial

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: Es una distribución discreta de probabilidad que puede utilizarse para determinar la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un proceso Bernoulli.
Un proceso de Bernoulli es un proceso de muestreo en el que:

1. Existen n pruebas idénticas que conducen a uno de dosresultados mutuamente excluyentes de éxito o fracaso.
2. La probabilidad de éxito se designa por p, permanece constante para todas las pruebas
3. Los resultados de las pruebas son eventos independientes.

La distribución de probabilidad de x éxitos en n pruebas es:

Dónde:
n: número de ensayos
x : número de éxitos en cada ensayo.
: Número de maneras deobtener exactamente x éxitos en n pruebas
p : probabilidad de éxito en cualquier prueba
q = 1-p probabilidad de fracaso en cualquier prueba

Parámetros:


Ejemplo 1: Una compañía de encuestas determina que el 30% de los habitantes de Lima Metropolitana lee periódico en la noche. Si aleatoriamente se escogen 3 persona dentro de esa población. ¿Cuál es laprobabilidad de que?
a) Se elijan exactamente 2 personas que lean periódico en la noche

n =3
x =2
p =.0.3 lee periódico en la noche
q = 0.7 no lee periódico en la noche


=
= 0.189

b) Ninguno lee periódico en la noche


c) Al menos una persona lea periódico en la noche

=1- 0.343 =0.657
d) Hallar P(1 X 3)
P (1 X 3) = P(X 3) – P(X0)= 1.0000 – 0.3430 = 0.6570
e) Hallar
Ejemplo 2: Un banco tiene tres sistemas de alarma independientes, cada uno de los cuales tiene un 0.90 de probabilidad de funcionar. Sea X la que simboliza el número de alarmas que se activan cuando el sistema es puesto en funcionamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna se active? ¿Cuál de que al menos una?
Solución. En este problema, n =3, y p =0.80,
Calculando esta probabilidad, tenemos
P (X = 0) =
= =0.001
Puesto que el evento al menos una es el complemento de evento ninguno se active, entonces:
P(al menos 1) = 1 – P (ninguno) = 1 – P (0) = 1 – 0.001 = 0.999
Compruebe con la tabla binomial.

Ejemplo 3: El ejército exige que la probabilidad de que cierto proyectil dé en el blanco sea de 0.80. Durante una serie depruebas, se encienden cinco proyectiles. ¿Cuál es la probabilidad de que los cinco proyectiles den en el blanco?
Solución. En este problema, n = 5, p = 0.80, y k = 5.

Calculando esta probabilidad, tenemos
P (X = 5) = = = (0.80)5 = 0.32768
Usando las tablas binomiales, en las que los valores están redondeados a tres lugares decimales, leemos que la probabilidad es igual a 0.328.Ejemplos 4: Se lanza una moneda 20 veces y un observador registra el número de caras que caen. Este experimento consta de 20 ensayos (n = 20), cada lanzamiento es un ensayo independiente de cualquier otro. Todo ensayo produce una cara o una cruz, cada una de las cuales tiene una probabilidad de 0.5 (p = 0.5, 1 - p= 0.5). La variable aleatoria Y es el número de caras en los 20 lanzamientos. Y tienela siguiente media y varianza.
= n p = 20 (0.5) = 10, = n p (1 - p) = 20 (0.5) (0.5) = 5.

Ejemplo 5: Diez vacas y diez toros son apareados. El ganadero conoce, por observaciones previas, que la probabilidad de que un rasgo particular heredable se presente es de ¼ (o 0.25). Después de que las vacas tienen sus crías, el ganadero cuenta las que tienen el rasgo, cada uno de los diezapareamientos representa un ensayo independiente, así n = 10. Cada becerro puede poseer el rasgo o no; por tanto, la probabilidad p es iguala ¼ y 1 - p es igual a ¾. La variable aleatoria Y es el número de becerros que poseen el rasgo. Por tanto
= n p = 10 (0.25) = 2.5 = n p (1 -p) = 10 (0.25) (0.75) = 1.875
La desviación estándar es = = 1.369.

Ejemplo 6: En una comunidad dada, el 5% de la...