CB 0441331

ALGUNOS TIPOS DE AUTOSEMEJANZA EN FRACTALES
GENERADOS A TRAVÉS DE SISTEMAS ITERADOS DE
FUNCIONES

LUISA FERNANDA HIGUERAS MONTAÑO

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
PROGRAMA ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
SANTIAGO DE CALI
2011

ALGUNOS TIPOS DE AUTOSEMEJANZA EN FRACTALES
GENERADOS A TRAVÉS DE SISTEMAS ITERADOS DE
FUNCIONES

Luisa Fernanda Higueras Montaño

Trabajo de gradopara optar al título de matemática.

Director:
Msc. Héber Mesa P.

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
PROGRAMA ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
SANTIAGO DE CALI
2011

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
PROGRAMA ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS

Luisa Fernanda Higueras Montaño, 1988

ALGUNOS TIPOS DE AUTOSEMEJANZA EN FRACTALES
GENERADOS A TRAVÉS DE SISTEMASITERADOS DE
FUNCIONES

Fractales, Atractores de Sistemas Iterados de Funciones, Autosemejanza Topológica,
Autosemejanza Estricta.

SANTIAGO DE CALI
2011

.

.

.

AGRADECIMIENTOS

Al Msc. Héber Mesa, director del trabajo.

.

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN.....................................................................................1

1.PRELIMINARES..................................................................................2
1.1. EL ESPACIO MÉTRICO H (X ).....................................................................2
1.2. EL ESPACIO DE LOS CÓDIGOS..................................................................7
1.3. SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES (SIF).............................................11
1.3.1.Definición.........................................................................................11
1.3.2. Relación entre el espacio de códigos y un SIF.....................................13

2. AUTOSEMEJANZA TOPOLÓGICA VERSUS SIF................................20
2.1. ALGUNOS ATRACTORES DE SIF...............................................................21
2.2. AUTOSEMEJANZA TOPOLÓGICA.............................................................25
2.3.CONDICIONES PARA GENERAR ATRACTORES
AUTOSEMEJANTES..................................................................................27

3. AUTOSEMEJANZA SEGÚN HUTCHINSON.......................................29
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORIA DE LA MEDIDA........................29
MEDIDA Y DIMENSIÓN DE HAUSDORFF.................................................32
LA MEDIDANATURAL SOBRE ΣN , ρ .....................................................35
DEFINICIÓN...............................................................................................40
SOBRE LA DEFINICIÓN DE CONJUNTO FRACTAL...................................46

4. SOBRE LA CONDICIÓN DEL CONJUNTO ABIERTO,
EN EL PLANO..................................................................................484.1. CONDICIONES EQUIVALENTES A OSC....................................................48
4.2. SIF CON INTERSECCIONES FINITAS VERSUS OSC..................................55

i

CONCLUSIONES..................................................................................60

BIBLIOGRAFÍA.....................................................................................61

ii

.

RESUMEN

Losfractales son objetos matemáticos que presentan dos características principales, la
primera que son conjuntos “demasiado irregulares” para ser tratados a través de la geometría tradicional; la segunda, que esta irregularidad está presente a cualquier escala.
Formalmente estas características se describen por medio de los conceptos de autosemejanza y dimensión. En este trabajo se realiza unacercamiento a la noción de autosemejanza en un fractal, mediante el estudio de la autosemejanza topológica, propuesta por
J. Charatonik y A. Dilks [2], y la autosemejanza estricta, propuesta por J.E. Hutchinson
[10], en fractales generados como atractores de Sistemas Iterados de Funciones. Por
este motivo se estudiarán conceptos como: la medida y dimensión de Haussdorff de un
conjunto, y la condición...