cccccc

Funciones 3

FUNCIÓN EXPONENCIAL y
LOGARÍTMICA
INTRODUCCIÓN
Existe una multitud de fenómenos naturales que pueden ser regidos
por la función exponencial y su inversa, la denominada función
logarítmica; estas funciones también se aplican en la Química, en la
Física, en la Economía, en la Medicina, en la Demografía, etc.

1. FUNCIÓN EXPONENCIAL
El número de cabinas de Internet en el Perúse ha
multiplicado y la competencia entre ellas ha hecho
que las tarifas (el costo por una hora de servicio)
sean más accesibles a las grandes mayorías. Debido
a esto, el número de usuarios de Internet se ha
incrementado significativamente.

En la figura se muestra un árbol en el cual la
formación de sus ramas se realiza de manera
exponencial, es decir, de cada rama se
genera dos ramas,de cada una de estas dos
ramas se genera otras dos ramas y así
sucesivamente.

Analicemos la siguiente situación:
El número de usuarios de Internet en el distrito de
Independencia se duplica cada año. En este
momento, 10 000 usuarios utilizan la red. Si
continúa produciéndose este fenómeno, ¿cuántos
usuarios habrá dentro de tres años?
Sean:
x: el tiempo en años.
y: la cantidad depersonas que utilizan los servicios de
Internet en el distrito de Independencia.

Así, también presentan comportamiento
exponencial la reproducción de una colonia de
bacterias, la desintegración de una sustancia
radioactiva, algunos crecimientos demográficos, la capitalización de
un dinero colocado a interés compuesto, la ley que rige el
enfriamiento de un objeto en un ambiente con menortemperatura,
etc.

Tenemos:
 El año que viene habrá: (10 000).2 =
(10 000).21 = 20 000 usuarios
 El año siguiente: (20 000).2 = (10 000).2 2
= 40 000 usuarios
 Dentro de tres años: (40 000).2 = (10
000).23 = 80 000 usuarios.
Y así sucesivamente. Por lo tanto, el número de
usuarios se puede expresar en función del tiempo mediante la fórmula
y = (10 000).2x
Este tipo de funciones en lasque la variable es un exponente, se llaman
funciones exponenciales.

Profesor: Javier Trigoso

Página 1

Funciones 3
Definición

Ejemplo

Sea a  R ; a  1 ; se llama función exponencial de
base a, a la función f : R

R / f(x)  a

x



Analicemos las gráficas de las funciones f(x)  2x y g(x)  1 / 2



x

Elaboramos la tabla de valores de cada una de las funciones ylas
representamos gráficamente:
a > 1
x
f(x)

Y

0 < a < 1

-2
-1

1/4
1/2

x
-2
-1

g(x)
4
2

0
1

1
2

0
1

1
1/2

2

4

2

1/4

f(x) = 2x
X




1
0

g(x) = (½)x
X

X

Como podemos observar, las representaciones gráficas de f(x) y
g(x) son simétricas entre sí con respecto al eje Y.
La curva siempre se mantiene por encima del eje X,ya que las
funciones exponenciales siempre toman valores positivos.

El número e
Una función exponencial especialmente importante es f(x)  e x , cuya
base es el número e = 2,718281………
Este número irracional se obtiene dando
valores muy grandes a n en la expresión

1
1  
n


n

. Luego, cuando la base de la función

exponencial es e, se tiene:

f:R

R / f(x)  e xLlamada función exponencial natural.

Profesor: Javier Trigoso

Página 2

Funciones 3
Logarítmos



Si la base es e = 2,718281……, entonces logeN se escribe lnN,
llamado logaritmo natural de N.

Volvamos al ejemplo sobre los usuarios del internet en el distrito de
Independencia; si queremos saber, por ejemplo, en qué tiempo se
alcanzará la cifra de 60 000 usuarios, tenemos queresolver la
ecuación:
(10 000).2x = 60 000
Es equivalente a resolver:

2x = 6

La frase: “x es el exponente al que hay que elevar
la base 2 para obtener el número 6”, se traduce al
lenguaje matemático mediante la expresión: “x es
el logaritmo en base 2 de 6”, que se escribe
abreviadamente x = log26 ( log2 6  2,58 años
aproximadamente).
Luego, 60 000 usuarios visitan Internet durante 2...