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Publicado: 2 de agosto de 2013
EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
En matemáticas, la frase anillo de los números enteros se puede referir a:
el anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicadocomo Z.
dado un campo numérico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, comúnmente indicado como OK.
Usando esta notación, se puedeescribir Z = OQ dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de números racionales. Y en efecto por esta razón, en la teoría de números algebraicos los elementos de Z son comúnmente llamados los "enterosracionales".
El anillo de los números enteros OK tiene una base integral; lo que significa que existe b1,...,bn ∈ OK (la base integral) tal que cada elemento x en OK puede ser unívocamente representado comoPropiedades
con ai ∈ Z.
Si ζ es la p-iésima raíz de la unidad y K=Q(ζ) es el campo ciclotómico correspondiente, entonces una base integral de OK está dada por (1,ζ,ζ2,...,ζp-2).
Si d es unentero cuadrático libre y K=Q(d1/2) es el campo cuadrático correspondiente, entonces una base integral de OK está dada por (1,(1+d1/2)/2) si d≡1 (mod 4) y por (1,d1/2) si d≡2 or 3 (mod 4).Considerando el conjunto de los números enteros:
Definiciones:
Sea m un número entero positivo. Dos números son congruentes módulo si su diferencia es un múltiplo de m, es decir si
Se llama clase deequivalencia definida por un número a módulo my denotada por al conjunto de los números enteros que son congruentes con a módulo m, es decir:
El conjunto de clases de equivalencia se denota por , yse dice que es el conjunto de los números enteros módulo m.
Por ejemplo, si m= 6, entonces:
En la práctica, [a] se identifica con el residuo de la división de aentre m; por ejemplo, la clase de 14módulo 6 se identifica con 2. De este modo se escribe que:
Las clases de equivalencia se pueden sumar y multiplicar, sólo con definir dichas operaciones como la suma y el producto de dos...
En matemáticas, la frase anillo de los números enteros se puede referir a:
el anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicadocomo Z.
dado un campo numérico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, comúnmente indicado como OK.
Usando esta notación, se puedeescribir Z = OQ dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de números racionales. Y en efecto por esta razón, en la teoría de números algebraicos los elementos de Z son comúnmente llamados los "enterosracionales".
El anillo de los números enteros OK tiene una base integral; lo que significa que existe b1,...,bn ∈ OK (la base integral) tal que cada elemento x en OK puede ser unívocamente representado comoPropiedades
con ai ∈ Z.
Si ζ es la p-iésima raíz de la unidad y K=Q(ζ) es el campo ciclotómico correspondiente, entonces una base integral de OK está dada por (1,ζ,ζ2,...,ζp-2).
Si d es unentero cuadrático libre y K=Q(d1/2) es el campo cuadrático correspondiente, entonces una base integral de OK está dada por (1,(1+d1/2)/2) si d≡1 (mod 4) y por (1,d1/2) si d≡2 or 3 (mod 4).Considerando el conjunto de los números enteros:
Definiciones:
Sea m un número entero positivo. Dos números son congruentes módulo si su diferencia es un múltiplo de m, es decir si
Se llama clase deequivalencia definida por un número a módulo my denotada por al conjunto de los números enteros que son congruentes con a módulo m, es decir:
El conjunto de clases de equivalencia se denota por , yse dice que es el conjunto de los números enteros módulo m.
Por ejemplo, si m= 6, entonces:
En la práctica, [a] se identifica con el residuo de la división de aentre m; por ejemplo, la clase de 14módulo 6 se identifica con 2. De este modo se escribe que:
Las clases de equivalencia se pueden sumar y multiplicar, sólo con definir dichas operaciones como la suma y el producto de dos...
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