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Cap. 1 Cinemática de la Partícula

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Cap. 1 Cinemática de la partícula
1.1 Definiciones
• Por: Jorge Rodríguez Hernández, Dipl.-Ing. Profesor del Área de Diseño Sección de Ingeniería Mecánica

Cinemática:

es el estudio de la geometría del movimiento sin importar las causas que lo producen.

• •

Movimiento: cambio de posición respecto a un sistema de referencia (fijo omóvil). Partícula: elemento con masa pero sin dimensiones.

1.2 Posición, velocidad y aceleración en coordenadas cartesianas
En la figura 1-1 se muestra una partícula P que se mueve a lo largo de la curva trayectoria C. Su posición quedará determinada para cada instante del movimiento si conocemos el vector posición de tal manera que sus tres componentes están representadas como funciones deltiempo: r r (t ) = x(t ) , y (t ) , z (t )

(

)

(1.1)

Es decir, las componentes cartesianas del vector posición están determinadas por las ecuaciones:
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x = x (t ) y = y (t ) z = z (t )
(1.2)

las cuales se denominan ecuaciones paramétricas del movimiento.

Trayectoria
r r

P
y

C

O z

x Fig. 1-1

Como veremos más adelante, conociendo las ecuaciones paramétricas delmovimiento de una partícula, será relativamente fácil encontrar las expresiones de su velocidad y aceleración como funciones del tiempo.

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z

Ejemplo 1.1: Una partícula se mueve a lo largo de una hélice cilíndrica de tal manera que su movimiento estádefinido por el vector posición: r r (t ) = (a cos ω 0 t , a sen ω0 t , k t ) donde a [m], ω0 [rad/s] y k [m/s] son constantes Es decir:
x(t ) = a cos ω0 t y (t ) = a sen ω 0 t z (t ) = k t ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
Ecuaciones paramétricas del movimiento
x O

a

p
y
Fig. 1-2

Observar que la trayectoria helicoidal tiene radio a y la partícula da una vuelta completa en el tiempo T = 2 π / ω0 . Al dar unavuelta completa la partícula ascenderá una distancia p que se denomina paso de la hélice ( p = k 2 π / ω0 ). Tomemos un movimiento con las siguientes características: r r (t ) = (0,5 cos1,5 t ; 0,5 sen1,5 t ; 0,2 t ) , t en [s], x, y y z en [m]. Si deseamos saber la posición de la partícula en el instante t = 2 s, entonces:

x = 0,5 cos (1,5 ⋅ 2) = − 0,495 [m] y = 0,5 sen (1,5 ⋅ 2) = 0,071 [m] z= 0,2 ⋅ 2 = 0,4 [m]
•

Velocidad: es el cambio del vector posición por unidad de tiempo.

En la siguiente figura se muestran dos posiciones muy cercanas para la partícula P durante su movimiento. Entre ambas posiciones ha transcurrido un tiempo Δ t . El cambio de r posición está representado por el vector Δ r . Entonces, la velocidad instantánea de la partícula será: r r Δr P r r r v (t ) =lim Δr = r (t + Δt ) − r (t ) Δ t →0 Δ t
r r r r (t + Δt ) − r (t ) v (t ) = lim Δ t →0 Δt
r r (t + Δt )

r r (t )

→
C

r r d r & v (t ) = r (t ) = r (t ) dt

(1.3)

Trayectoria

O

Fig. 1-3

Se ve claramente que la velocidad es un vector tangente a la trayectoria. Así el vector velocidad tendrá siempre la forma:

r ˆ ˆ v (t ) = v(t ) et donde et es el vector unitariotangencial a la trayectoria.

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En coordenadas cartesianas: Siendo su módulo:

r & & & v (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) )

(1.4) (1.5)

& & & v = x2 + y2 + z2

Ejemplo 1.2: Calcular la velocidad para la partícula del ejemplo 1.1 en el instante t = 2 s.Tenemos que:
r r (t ) = (0,5 cos1,5 t ; 0,5 sen1,5 t ; 0,2 t ) .

La velocidad será:
→ Para t = 2 s: Su módulo será:

r d r d v (t ) = r (t ) = (0,5 cos1,5 t ; 0,5 sen1,5 t ; 0,2 t ) dt dt r v (t ) = (− 0,75 sen1,5 t ; 0,75 cos1,5 t ; 0,2)
r v (t ) = (− 0,106 ; − 0,743 ; 0,2) m/s

& & & v = x 2 + y 2 + z 2 = 0,777 m/s es el cambio del vector velocidad por unidad de tiempo.

•...