Cdi Ets 10012014 A B Sol

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
10-01-14 18:00-20:00
ACADEMIA DE MATEMATICAS

A

SOLUCIONES:
1.- Para la siguiente función f ( x ) =

2 x2 + 2
x2 − 1

determina:

a) Dominio, b) Rango, c) Simetría, d) Intersecciones con los ejes coordenados, e) Asíntotas,
f) puntos críticos y de existir clasifícalos(máx. o mín.), g) Intervalos de monotonía, h)
Puntos de inflexión, de existir, i) Intervalos de concavidad positiva o negativa, j) Bosquejo
de la gráfica de la función.
Valor 4 puntos
Solución
f ( x) =

2 x2 + 2
x2 − 1
−8 x

df
=
dx ( x 2 − 1)2
d 2 f 24 x 2 + 8
=
dx 2 ( x 2 − 1)3

a) Dom f  − {−1,1}
b) Rango f ( −∞, −2] ∪ ( 2, +∞ )
c) Simetría
) f (−x)
Función Par sí
f ( x=
2
2(−x) + 2
2 x2 + 2 f (− x ) =
f ( x) = 2
( − x )2 − 1
x −1
2x2 + 2
2x2 + 2
f ( x)
f (−x)
=
=
2
x −1
x2 − 1
) f (−x) ∴
f ( x=

Es función Par
d) Intersecciones
I abscisas
I ordenadas

x = −1 ∴ No hay

( 0, −2 )

e) Asíntotas
. .
AV
xav1 = −1
xav 2 = 1

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A.H .
f3 ( x ) = 2
A.O.
No hay

f) Puntos críticos
xc = 0

( 0, −2 ) Máximo
g) Monotonía

( −∞, −1)
( −1,0 )
( 0,1)
(1, +∞ )

Creciente
Creciente
Decreciente
Decreciente

h) Puntos de Inflexión
xin = −

1
∴ No hay
3

i) Sentido de las concavidades

( −∞, −1) Concavidad positiva
( −1,1) Concavidadnegativa
(1, +∞ ) Concavidad positiva

j) Gráfica

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2.- En un recipiente en forma de cono invertido con radio R = 30 cm y altura H = 50cm se vierte
salmuera a razón de 4 litros en cada minuto. Sí el recipiente comienza a llenarse en t = 0 , calcule la
rapidez a la que aumenta la altura de la salmuera a los 4 minutos de haber iniciado el llenado del
recipiente.
Solución:
1
V = π r 2h
3
3
V = π h3
25
dV
dh
9
= π h2
dt 25
dt
dh
25 dV
=
dt 9π h 2 dt
A los 4 min h = 34.89 cm
dh
25
cm
= =
( 4000 cmmin3 ) 2.9 min
dt 9π ( 34.89 cm )2Valor 2 puntos
3.- Resuelva la siguiente integral por partes

∫ sec
u

3

x
( ) dx

π

1
x
x
x
sec(
) du
sec( ) tg ( )dx
=

π

π

π

π

x
2 x
( )dx v π tg ( )
dv sec
=

π

π

x
x
x
3 x
2 x
=
∫ sec ( )dx π tg ( ) sec( ) − ∫ tg ( ) sec( ) dx

π

x

)dx
∫ sec (π=
3

π

π

x

x

x

x

π

π

x

π tg ( ) sec( ) − ∫ sec3 dx + ∫ sec( ) dx
π
π
π
x

x

π tg ( ) sec( ) + π Ln(sec( ) + tg ( ))
3
π
π
π
π +csec
(
)
dx
∫ π
2
x

Valor 2 puntos
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4.- Resuelva la siguiente integral por sustitución trigonométrica

∫x

dx
2

9 + 4x2
dx

∫

x2 9 +4x2

=
a 3,=
x

3
tgθ
2

3 2
3 2
sec θ dθ
sec θ dθ
2
2
=
=
∫ 3 2
∫9 2
3
9
2
tg θ 9 + 4( tg 2θ )
( tgθ ) 9 + 4( tgθ )
2
2
4
4
2
2
sec θ
2 sec θ
2
2
=
− csc θ + c
dθ =
sen −2θ cos θ dθ =
2
∫
∫
∫
3 tg 2θ 9sec 2 θ 9 tg θ
9
9
− 9 + 4x2
+c
9x
Valor 2 puntos
5.- Resuelva la siguiente integral por fracciones parciales

∫

− x 2 − 3x + 4
dx
x3 + 4 x

− x − 3x + 4
dx
x3 + 4 x
− x 2 − 3 x + 4 − x 2 − 3 x +4 A Bx + C
=
=
+
x3 + 4 x
x x2 + 4
x ( x2 + 4)
−1 = A + B
−3 =C
4 = 4A
A =1
B = −2
c = −3

∫

∫
∫

2

1
1
2x
3
− x 2 − 3x + 4
−2 x − 3
dx =dx +
dx =dx −
dx − 2
dx =
3
2
2
x + 4x
x
x +4
x
x +4
x +4
3
x
− x 2 − 3x + 4
dx
= ln ( x ) − ln ( x 2 + 9 ) − arctan + C
3
2
2
x + 4x

∫

∫

∫

∫

∫

Valor 2 puntos
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