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Trabajo de Graduación
Francisco J. García Castillo

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Funciones de transferencia de sistemas LTI
Como ya conocemos la salida de un sistema LTI en el tiempo (en reposo) para
una secuencia de entrada x(n) se podía obtener como la convolución de esa secuencia de
entrada x(n) con la respuesta al impulso del sistema.

La propiedad de la convolución

nos permite expresar esta relación enel dominio de z como:

Y(z) = H(z) X(z)

ec. 2. 89

donde Y(z) es la transformada z de la secuencia de entrada y(n), X(z) es la transformada z
de la secuencia de entrada x(n), y H(z) es la transformada z de la respuesta al impulso
h(n).

Si conocemos x(n) y obtenemos la salida del sistema podemos determinar la
respuesta al impulso del sistema obteniendo en primer lugar H(z) con:

H (z) =

∞

∑ n(n) z

−n

ec. 2.90

n = −∞

luego si le aplicamos la transformada inversa de z a este sistema podemos obtener su
caracterización correspondiente al dominio del tiempo.

Mientras que H(z) que

representa la caracterización del sistema en el dominio de z se le conoce con el nombre de
función de transferencia del sistema.

Si se ha expresado la ecuación de diferenciasdel sistema LTI como:

N

M

k =1

k =0

y( n ) = − ∑ a k y( n − k ) + ∑ bk x ( n − k )

Capítulo II

ec. 2.91

Trabajo de Graduación
Francisco J. García Castillo

59

tendremos como estructura de la función de transferencia del sistema la siguiente:

M

H ( z) =

∑b z
k =0
N

−k

k

1 + ∑ ak z

ec. 2.92
−k

k =1

2.3.4 La transformada z inversa
Confrecuencia tenemos las señales o bien los sistemas discretos descritos en
función de la transformada z y no es necesario volver al dominio del tiempo.

Por tal

razón se nos hace necesario como lograr esta transformación.

La operación que devuelve una función de z al tiempo se conoce con el nombre de
transformada inversa de z y esta definida por:

x( n) =

1
X ( z ) z n −1 dz
2πj ∫Cec. 2.93

donde la integral es una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al
origen y se encuentra en la región de convergencia de X(z). Para obtener la transformada
z inversa se supone, generalmente, que la secuencia de tiempo x(nT) o x(n) es cero para
k < 0.

Entre los métodos más utilizados para obtener la transformada z inversa tenemos:

Método de la divisióndirecta:
En este método la transformada z inversa se obtiene mediante la expansión de
X(z) en una serie infinita de potencia de z-1.

Este método es apropiado para una

expresión en forma cerrada para la transformada z inversa o se desea encontrar sólo
algunos de los primeros términos de x(k).

Capítulo II

Trabajo de Graduación
Francisco J. García Castillo

60

Este método se basaen el hecho de que:
∞

X ( z ) = ∑ x (kT ) z − k

ec. 2.94

k =0

aunque este método sólo otorga valores discretos y no una expresión generalizada de la
secuencia, el mismo puede ser útil en distintas aplicaciones que sólo requieren una
aproximación de la señal final.

Método de la integral de inversión:
Otro método empleado para la obtención de la transformada inversa de z esutilizar el teorema del residuo de Cauchy:

La aplicación de este teorema nos dio por

resultado la ec. 2.93, que desarrollada para la transformada z inversa obtenemos:

x( n) =

1
n −1
n −1
∫C X ( z ) z dz = ∑ ( z − z i ) X ( z) z | z = zi
2πj
i

siempre que los polos zi sean simples.

ec. 2.95

Si X(z)zn-1 no tiene polos dentro del contorno C

para uno o más valores de n, entoncesx(n) = 0 para esos valores.

Método de expansión en fracciones parciales:
Este método es idéntico al utilizado para calcular transformada inversa de
Laplace.

Para este método intentamos expresar la función X(z) como una combinación

bilineal de la forma:
X(z) = α1X1(z) +α2X2(z) + ... +αkXk(z)
α
α

ec. 2.96

donde X1(z), X2(z), ... ¸ Xk(z) son expresiones con transformadas...