cemento

De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa “unir todas las partes en un todo; unificar, indicar la cantidad total,…”. . Matemáticamente, la integración se representa por . En los primeros años de ingeniería, se ven apartes de cálculo integral. Se aprenden técnicas que obtienen soluciones analíticas o soluciones exactas de integrales definidas e indefinidas. En esta parte setrata de solucionar integrales definidas, o sea integrar una función entre un par de límites dados . Integral en la cual el intervalo de integración , es finito, y f es una función de una variable real y valor real continua en .
Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la curva en el intervalo . De acuerdo al teorema fundamental del calculo integral la ecuación se evalúacomo . En donde F(x) es la integral de , esto es, cualquier función tal que . Es decir F(x) es una antiderivada de . La nomenclatura de es .
Desafortunadamente en la mayoría de los casos prácticos es muy difícil o aun imposible hallar una antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe de aproximarse.

Cálculo de áreas

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es elcálculo del área que se
forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que
aparece en la siguiente figura por debajo de la función f(x) entre los límites a y
b:
Fig. 1
En donde la función f (x) y los valores a y b son valores conocidos. a se
considera como el limite inferior y b se considera como límite superior.
En este tipo de problemas se pueden obtener dostipos de soluciones:
􀀹 Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el
área solicitada.
􀀹 Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.
Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque
son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o
difícil) obtener la solución algebraica, por lo que unasolución numérica permite ahorrar tiempo.
Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann quien fue unmatemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método deintegración numérica es que al sumar las áreas se pudiera obtener un margen de error muy grande, en caso de que la figura a la cual se le calcule el área no sea regular.
Definición
Consideremos lo siguiente:
una función
donde D es un subconjunto de los números reales
I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos Scomo la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.
Algoritmo Trapecial
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de
Newton-Cotes.
Considérese la función f (x) , cuya gráfica entre los límites x = a y x = b se
muestra en la Fig. 7. Una aproximación suficiente al área bajo la...

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