Cemento

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Aplicaciones de la integral definida
En esta sección vamos a estudiar algunas otras aplicaciones de la integral definida. √ Calcula el volumen generado cuando la función: y = x gira alrededor del eje x desde x = 0 hasta x = 4. • La idea geométrica se muestra en la siguente gráfica: y 2.0 1.5 1.0 0.5 x 3 4

Ejemplo 1

y=

√x

O

0.5

1

2

dx

−0.5−1.0 −1.5 −2
• Tenemos que generar discos a partir de cada diferencial dx. • Si calculamos el área de una cara del disco y la multiplicamos por su altura (dx), obtenemos el volumen del disco. • Al sumar el volumen de todos los discos obtendremos una aproximación al volumen que se genera al girar la función alrededor del eje x. • Cuando hacemos que el número de particiones tienda a infinito, obtenemosel volumen buscado. √ • Es fácil reconocer de la gráfica que el radio del disco es igual a y = x. • Entonces, el área de un disco es: dA = π r2 = π

y=

−√ x

√

x

2

=πx

• Y la aproximación al volumen del diferencial es: dV = dA · dx = π x dx donde dx = 4/n, suponiendo n particiones del intervalo (0, 4).
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•La aproximación al volumen entonces es:

i =0

∑ π x dx

n

• Cuando hacemos que n tienda a infinito obtenemos una integral:
4

0

x2 π x dx = π 2

4

= 8π
0

• Entonces, el volumen que se genera haciendo girar la función y = desde el origen hasta x = 4 es 8 π unidades de volumen.

√

x alrededor del eje x

Ejemplo 2

Calcula el volumen del sólido tetraédrico cuyosvértices están en los puntos: A(0, 0, 0), B( a, 0, 0), C ( a, b, 0), y D ( a, 0, c). • El sólido es una pirámide cuyos vértices se enlistan antes. • Geométricamente, deseamos calcular el volumen del siguiente sólido: y b

dV

a

x

c z • Vamos a considerar diferenciales de volumen perpendiculares al eje x. • La recta que forma una de las aristas del sólido es: y = b x/a. • La otra arista estásobre la recta: z = c x/a. • Los triángulos que se forman son rectángulos, porque la base del sólido es paralela al plano yz. • Observa que la base de cada triángulo que se forma con las diferenciales es: yi = b xi /a. • De manera semejante, zi = c xi /a.

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• Entonces, el área de una cara de la diferencial de volumen es: A( x )= 1 bcx2 yz = 2 2 a2

• Cuando hacemos que el número de diferenciales tienda a infinito, obtenemos una integral. • Los límites de la integral en este caso van desde x = 0 hasta x = a. • Entonces, el volumen del sólido es:
a

0

abc bcx2 dx = 2 6 2a

• Verifica este resultado buscando en algún libro la fórmula para calcular el volumen de una pirámide conocida el área de su base. En física,el centro de gravedad de un cuerpo es un punto en el cual se puede considerar que está concentrada toda la masa del mismo. Centro de gravedad El centro de gravedad de un cuerpo es el punto en el cual se puede considerar que se ejerce la fuerza de atracción debido a la gravedad sobre ese cuerpo. Si el cuerpo tiene n partículas en las posiciones {( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), · · · , ( xn , yn )}, y lospesos de cada ¯ ¯ una de las partículas es: {w1 , w2 , · · · , wn } las coordenadas del centro de gravedad C ( x, y) se pueden calcular con: w1 x 1 + w2 x 2 + · · · + w n x n = w1 + w2 + · · · + w n ∑ wi x i ∑ wi
n

¯ x

=

i =1 n

Definición 1

¯ y

=

w1 y 1 + w2 y 2 + · · · + w n y n = w1 + w2 + · · · + w n

i =1 n

∑ wi y i ∑ wi

i =1 n

i =1

Realiza el cálculo delcentro de gravedad de un cuerpo para el caso contínuo. • Nosotros vamos a considerar que el número de partículas n tienda a infinito. • Entonces, la sumatoria se convertirá en una integral. • Observa que si multiplicamos la densidad lineal (masa por unidad de distancia) del cuerpo por una distancia, obtenemos la masa del material contenida en esa distancia. • Supuesto que nosotros conozcamos la...