Centro de masa de una lámina y centroide de una región plana

Centro de masa de una lámina y centroide de una región plana
Ahora considere una placa delgada de masa distribuida en forma continua, por ejemplo una hoja de papel o dehojalata, de dos dimensiones. A tal región plana se le llama lámina.
Considere un sistema de n partículas ubicadas en los puntos ( ), ( ),…, ( ), en un plano xy y sean lasmedidas de sus masa , …. Imagine que las partículas están sobre una placa de peso y grosor despreciable. El centro de masa es el punto donde la hoja estará en equilibrio. Refiérase ala figura 1, la cual muestra ocho partículas colocadas sobre la placa. En la figura, la identificación de la i-ésima partícula es , que es la medida de su masa. La placaestará en equilibrio sobre un punto de apoyo ubicado en el centro de la masa denotado por . Para determinar el centro de masa de dicho sistema primero se debe definir la masa totaldel sistema y el momento de masa del sistema con respecto a los ejes coordenados.
Suponga que la i-ésima partícula, ubicada en el punto ( ), tiene masa de kilogramos.Entonces la masa total del sistema es M kilogramos, donde

El momento de la i-ésima partícula con respecto al eje y es kilogramos-metro y su momento de masa con respecto al ejex es kilogramos-metro. Si kilogramos-metro es el momento del sistema de n partículas con respecto al eje y, y kilogramos-metro es el momento del sistema con respecto aleje x, entonces

El centro de masa del sistema es el punto ,donde

El punto puede interpretarse como el punto tal que, si la masa total del sistema de M kilogramos seconcentrase ahí, entonces el momento de masa del sistema con respecto al eje y sería kilogramos-metro y su momento con respecto al eje sería kilogramos-metro.