centro de masa

Centro de Masa

Centro de Masa
ext

F1

m1

F 21

F 12

m2
ext

F2

Centro de Masa
Considero un sistema
de 2 partículas 1 y 2,
cuyas ecuaciones de
movimiento serían:
ext
 F

m1 a1= F 1

21
ext
 F

m2 a2 = F 2

12

ext

F1

m1

F 21

F 12

m2
ext

F2

Centro de Masa
Considero un sistema
de 2 partículas 1 y 2,
cuyas ecuacionesde
movimiento serían:
ext
 F

m 1 a1 = F 1

21
ext
 F

m2 a2 = F 2

12

ext

F1

m1

F 21

F 12

m2
ext

F2

Observamos que por acción y reacción se tiene


F 21=− F 12

Centro de Masa
Por lo tanto, si
sumo las ecuaciones
de movimiento obtengo:
ext
ext
m1 a1m 2 a2 = F  F


1
2

ext

F1

m1

F 21

F 12

m2
ext

F2Centro de Masa
Por lo tanto, si
sumo las ecuaciones
de movimiento obtengo:
ext
ext
m1 a1m 2 a2 = F  F


1
2

ext

F1

m1

F 21

F 12

m2
ext

F2

Centro de Masa
Por lo tanto, si
sumo las ecuaciones
de movimiento obtengo:

ext

F1

ext
ext
m1 a1m 2 a2 = F  F


1
2

multiplicando y dividiendo
por la suma de las masas
obtengo:
m1m2 

m1 a1m2 a 2 


 m1m2 

ext
ext
= F  F
1
2

m1

F 21

F 12

m2
ext

F2

Centro de Masa
ext

F1

m 1m2 

m1 a1m2 a 2 


 m1m2 

ext
ext
= F  F
1
2

m1

F 21

F 12

O sea, la ecuación de un punto
material de masa total, con
aceleración promedio, donde se aplica
la fuerza neta sobre el sistema.

m2
ext

F2Centro de Masa
Defino el centro de masa para 2
partículas:


m1 r 1 m2 r 2
r =
CM
m1 m2
●

Centro de Masa
Defino el centro de masa para 2
partículas:


m1 r 1 m2 r 2
r =
CM
m1 m2
●

Calculo la aceleración del centro de
masas:


m1 r¨1 m2 r¨2
¨
r =
CM
m1 m2

Centro de Masa


m1 r¨1 m2 r¨2
¨
r =
CM
m1 m2

El centro de masas verifica laecuación de movimiento de una
masa puntual donde se concentra
toda la masa del sistema, y sobre
la que actúa la fuerza neta externa
sobre el mismo.

Centro de Masa
O sea, que tenemos:
ext
¨
 =∑ F
m1m2  r CM

Centro de Masa
O sea, que tenemos:
ext
¨
 =∑ F
m1m2  r CM

Generalizando, defino el centro
de masa para N partículas:
i=N


∑i=1 mi r i
r =
CM
i=N∑i=1 mi

Centro de Masa
La aceleración del centro de masa
en ese caso verifica:
i=N


∑i=1 mi r¨i
¨
r =
CM
i=N
∑i=1 mi

Centro de Masa
La aceleración del centro de masa
en ese caso verifica:
i=N


∑i=1 mi r¨i
¨
r =
CM
i=N
∑i=1 mi

Igual que antes la ecuación de
movimiento del centro de masa es:
i=N

 ∑i=1

ext
¨
¨
 =Mtot r  =∑ F
mi  r CM
CMCentro de Masa
i=N

 ∑i=1

ext
¨
¨
 =Mtot r  =∑ F
mi  r CM
CM

En particular, si la fuerza neta
externa sobre un sistema es nula
el centro de masa permanecerá
en reposo o en movimiento
rectilíneo uniforme.

Centro de Masa
Las coordenadas del centro de
masa, individualmente se calculan
i=N
como:
∑i=1 mi x i
x CM =
i=N
∑i=1 mi
●

i=N

∑i=1 mi y i
y CM=
i=N
∑i=1 mii =N

∑i =1 mi z i
z CM=
i=N
∑i=1 mi

Centro de Masa
Vectorialmente:
i=N

 CM =x CM 
r
iy CM  CM k =
jz 

r
∑i=1 mi  i
M tot

Observamos que si la masa 2 es
mayor a la 1, la posición
del centro de masa se halla
entre ambas masas, más cerca de
la más pesada

Centro de Masa
Vectorialmente:
i=N

 CM =x CM 
r
iy CM  CM k =
jz 

r
∑i=1 mi  i
M totObservamos que si la masa 2 es
mayor a la 1, la posición
del centro de masa se halla
entre ambas masas, más cerca de
la más pesada

Centro de Masa
Ejemplo:
Juan y Luisa están en un bote homogéneo de
longitud L=3,00 m y masa M=100 kg en el medio
del lago. Juan, quepesa 80,0 kg se encuentra en
el extremo izquierdo del bote mientras que,
Luisa que pesa 50,0 kg se encuentra en...