Centro de masa

En está parte haremos uso del principio de conservación del momento lineal para analizar las colisiones entre bolas de billar, coches, partículas subatómicas y desintegraciones radiactivas de núcleos. Aplicaremos las leyes de Newton al movimiento de objetos macroscópicos reales como coches, cohetes y personas, dándonos cuenta que en los sistemas de partículas hay un punto, el centro de masas, quese mueve como si todo el sistema estuviera concentrado en él, y que todas las fuerzas que afectan el sistema lo hacen como si sólo actuaran en ese punto.

Centro de masas El movimiento de un objeto o de un sistema de partículas se puede describir en función del movimiento del centro de masas (que puede considerarse como el movimiento global del sistema) más el movimiento de las partículasindividuales en el sistema relativo al centro de masas. Consideremos en primer lugar un sistema simple formado por dos partículas en una dimensión. Sean x1 y x2 las coordenadas de las partículas puntuales de masas m1 y m2 respecto a un origen elegido arbitrariamente. La coordenada cm del centro de masas viene definida por

Mxcm = m1 x1 + m2 x2

(8 − 1)

En donde M = m1 + m2 es la masa total delsistema. Para el caso de sólo dos partículas, el centro de masas se encuentra sobre un punto de la línea que une las partículas; si las partículas son de igual masa, el centro de masas se halla a la mitad de camino entre las partículas

Si dos partículas tienen distinta masa, el centro de masas está más cerca de la partícula de masa mayor.

Si se elige el origen y la dirección del eje x detal forma que la posición de m1 es el origen y m2 está en la dirección positiva del eje x, entonces x1 = 0 y x2 = d, donde d es la distancia entre las partículas y el centro de masas viene dado por

Mxcm = m1 x1 + m2 x2 = m1 (0 ) + m2 d xcm = m2 m2 d= d M m1 + m2

(8 − 2)

Podemos generalizar de dos partículas en una dimensión a un sistema de muchas partículas en tres dimensiones. Para Npartículas

Mxcm = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ... + mN x N = ∑ mi xi
i

(8 − 3)

en donde M = Σmi Igualmente,
Mycm = ∑ mi yi
i

es la masa total del sistema.
y Mzcm = ∑ mi zi
i

(8 − 4)

en donde dm es un elemento de masa localizado en la posición r, como se muestra

Para objetos muy simétricos e centro de masas es el centro geométrico. Por ejemplo, el centro de masas de un cilindrouniforme se encuentra en su centro geométrico. Considérese ejemplos. los

siguientes

El vector posición de la partícula i es ri = xi i + yi j + zi k. El vector de posición del centro de masas rcm, viene definido por

r r r r Mrcm = m1r1 + m2 r2 + ... = ∑ mi ri
i

(8 − 5)

en donde rcm = xcmi + ycm j + zcmk. Para determinar el centro de masas de un objeto continuo, basta reemplazar lasumatoria de la ecuación 85 por una integral:

r Mrcm = ∫ rdm

(8 − 6)

EJEMPLO 8.1 Centro de masas de la molécula de agua Una molécula de agua está formada por un átomo de oxígeno y dos átomos de hidrógeno. El átomo de oxígeno tiene una masa de 16 unidades de masa atómica (u) y cada átomo de hidrógeno tiene una masa 1 u. Cada uno de los átomos de hidrógeno están separados una distanciamedia de 96 pm (96 x 10-12 m) del átomo de oxígeno y separados entre sí por un ángulo de 104,5°. Determinar el centro de masas de la molécula. SOLUCIÓN: El cálculo se simplifica si elegimos como origen la posición del átomo de oxígeno y el eje x como la bisectriz del ángulo entre los átomos de hidrógeno.

Por lo tanto, dada la simetría de la molécula, el centro de masas estará sobre el eje x y lalínea que une el átomo de oxígeno con cada átomo de hidrógeno formará con el eje x un ángulo de 52,2°. La posición del centro de masas viene dada por sus coordenadas, xcm e ycm:

xcm

∑m x =
M

i i

ycm

∑m y =
i

i

M

Si estas expresiones obtenemos:

se

escriben

explícitamente

xcm ycm

mH 1 xH 1 + mH 2 xH 2 + mO xO = mH 1 + mH 2 + mO mH 1 y H 1 + mH 2 y H 2 + mO...