Centro de masa

CALCULO DE CENTROS DE MASA
EXPRESION GENERAL:
La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene dada por la expresión:

!

!
r .M .
C

!

i i

i i

! m r !m r
=
=
M
!m
i

i

(1)

i

i

donde M es la masa total del sistema de partículas.
Esta es una ecuación vectorial, cada una de las componentes de la posición del centro de masas vendrá
dada por:! m x !m x
=
=
M
!m
i

xC .M .

i

i

i

i

i

!m y !m y
=
=
M
!m
i

y C.M .

i

i

i

i

i

i

i

zC .M .

i

i

!m z !m z
=
=
M
!m
i

i i

i

i

(2)

i

i

i

Ejemplo: Sistema de 3 partículas:

!
!
!
m1 = 1kg, m2 = m3 = 2kg, r = (1, ! 1, 0) m, r2 = (!1, 2,1) m, r3 = (2, 2,1) m
1
!

!
r .M .
C

! m r (1, " 1, 0) +2("1, 2,1) + 2(2, 2,1) # 3 7 4 %
=
=
m= $ , , & m
1+ 2 + 2
5 5 5
!m
i i

i

i

i

PASO AL CONTINUO:
Cuando un sistema está formado por un número extremadamente grande de partículas (como es el caso de
un sólido, un volumen líquido, etc.) Se realiza lo que se llama el paso al continuo que consiste en
considerar el sistema constituido no por partículas individuales sino como uncontinuo de materia. En este
caso se divide al sistema en pequeños diferenciales de masa dm, cada uno con su posición
correspondiente. Las sumas de la expresión anterior se transforman ahora en integrales (ya que en el
límite estamos sumando un número infinitamente grande de cantidades infinitesimalmente pequeñas), y la
expresión de la posición del centro de masas queda ahora:
!
r .M . =
C!

!

! r dm = ! r dm
M
! dm

"

x C.M . =

! x dm
M

y C.M . =

! y dm
M

zC.M . =

! z dm
M

(3)

Si el cuerpo es filiforme (tiene forma de hilo o alambre) los diferenciales de masa dm en que lo dividimos
están asociados a diferenciales de longitud dl: dm = ! dl , donde λ es la densidad lineal (masa por unidad
de longitud). Esta densidad lineal puede ser constante ono. En caso de que sea constante puede salir fuera
de las integrales en el numerador y el denominador simplificándose. Las integrales se transforman en
integrales de longitud y las ecuaciones (3) quedan en este caso:
Jose Javier Sandonís Ruiz

xC .M . =

! x dl
L

y C.M . =

! y dl
L

zC .M . =

! z dl
L

(4)

donde L es la longitud total del cuerpo.
Si el cuerpo tieneforma de placa los diferenciales de masa dm en que lo dividimos están asociados a
diferenciales de área dA: dm = ! dA , donde σ es la densidad superficial (masa por unidad de superficie).
Esta densidad superficial puede ser constante o no. En caso de que sea constante, igual que en el caso
anterior, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplificándose. Lasintegrales se transforman en integrales de superficie y las ecuaciones (3) quedan en este caso:

xC .M . =

! x dA
A

y C.M . =

! y dA
A

zC .M . =

! z dA
A

(5)

donde A es la superficie total del cuerpo.
Por último, si el cuerpo es volúmico los diferenciales de masa dm en que lo dividimos están asociados a
diferenciales de volumen dV: dm = ! dV , donde ρ es la densidad volúmica(masa por unidad de
volumen). Esta densidad lineal puede ser constante o no. En caso de que sea constante, como en los dos
casos anteriores, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplificándose.
Las integrales se transforman en integrales de volumen y las ecuaciones (3) quedan en este caso:

xC .M . =

! x dV
V

yC .M . =

! y dV

zC .M . =

V

! zdV
V

(6)

donde V es el volumen total del cuerpo.
NOTA: Es un error típico utilizar las siguientes expresiones para calcular la masa
de un objeto utilizando las densidades lineal, superficial o volúmica:
M =!L ,

M =" A ,

M = #V

Esto sólo es correcto cuando las densidades son constantes, es decir, cuando la
masa del objeto está uniformemente repartida a lo largo de su longitud,...