centro de masa

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
El objetivo de estas l´ıneas es explicar brevemente otra de las numerosas aplicaciones que
posee el C´alculo Integral. En este caso, consideramos una placa plana y delgada con forma
cualquiera, y nos proponemos hallar su centro de masa. Informalmente, entendemos por centro
de masa de una placa, el punto donde la misma se equilibra horizontalmente.
Primeroanalicemos el caso simple en el que dos part´ıculas de masas m1 y m2 est´an sujetas
a los extremos de una varilla que supondremos tener masa nula y apoyada en un fulcro (apoyo)
(Figura ). Las masas se encuentran a distancias d1 y d2 respectivamente del apoyo. La varilla
quedar´a en equilibrio, seg´un lo estableci´o Arqu´ımides a trav´es de la “Ley de la Palanca”, cuando
m1d1 = m2d2.
Pensemos queubicamos la varilla en el eje x, m1 en x1 y m2 en x2 (0 < x1 < x2) y el centro
de masa en xM. Es decir, se verifica que d1 = xM − x1 y d2 = x2 − xM (ay´udese con un
dibujo). Seg´un la mencionada ley de Arqu´ımides tenemos que m1(xM − x1) = m2(x2 − xM),
de donde se desprende que
xM =
m1x1 + m2x2
m1 + m2
.
Generalizando la situaci´on anterior, si consideramos n part´ıculas con masas m1, m2, · · ·, mn
colocadas en los puntos de coordenadas x1, x2, · · · , xn del eje x, se puede demostrar que el
centro de masa del sistema est´a ubicado en
xM =
Pn
j=1 mjxj
Pn
j=1 mj
. (1)
P
Cada t´ermino mjxj se lo llama momento de la masa mj con respecto al origen, y a
n
j=1 mjxj
, momento del sistema con respecto al origen. La ecuaci´on en (1) indica entonces
que el centro de masa xM sedetermina sumando los momentos de las masas y dividiendo
esta cantidad por la masa total.
Observemos que si reescribimos la ecuaci´on en (1) como mxM = M, donde m =
Pn
j=1 mj
y M =
Pn
j=1 mjxj
, la misma nos dice que si la masa total m se considerara concentrada en el
centro de masa, su momento es igual al momento M del sistema.
1Consideremos ahora n part´ıculas con masas m1, m2, · · · , mncolocadas en los puntos de
coordenadas (x1, y1),(x2, y2), · · · ,(xn, yn) del plano xy. Por analog´ıa al caso unidimensional, el
momento del sistema respecto al eje x se define como
Mx =
Xn
j=1
mjxj
,
y el momento del sistema respecto al eje y como
My =
Xn
j=1
mjyj
.
Tambi´en por analog´ıa al caso unidimensional, las coordenadas del centro de masa, (xM, yM),
se expresan en t´erminosde los momentos de la siguiente manera
xM =
My
m
, yM =
Mx
m
,
donde nuevamente m =
Pn
j=1 mj representa la masa total.
Consideremos ahora una varilla delgada de metal, colocada en el eje x desde x = a hasta
x = b, con a < b. Cortamos la varilla en peque˜nos trozos de masa ∆mk a trav´es de una partici´on
P = {x0, x1, · · · , xn} del intervalo [a, b]. Para cada k = 0, 1, · · · , n,sea ck un punto cualquiera
en el k-´esimo subintervalo [xk−1, xk]. El k-´esimo trozo tiene longitud xk − xk−1 = ∆xk. Se
aconseja que realice un esbozo de la varilla indicando todos estos elementos, para
mejor comprensi´on de lo que sigue.
Observemos en primer lugar que el centro de masa de la varilla es aproximadamente el
mismo que el del sistema de puntos de masa que obtendr´ıamos colocandocada trozo de masa
∆mk en ck. Entonces, por lo visto m´as arriba, el momento de cada trozo con respecto al origen
es aproximadamente igual a ck∆mk, por lo que el momento del sistema con respecto al origen
es aproximadamente igual a Pn
k=1 ck∆mk. Por ´ultimo, si la densidad (masa por unidad de
longitud) de la varilla en ck es δ(ck), ∆mk es aproximadamente igual a δ(ck)∆xk. Obtenemos
que elcentro de masa de la varilla es:
xM ≈
Pn
k=1
P
ckδ(ck)∆xk
n
k=1 δ(ck)∆xk
.
Conforme la norma de la partici´on considerada tienda a cero, si la densidad de la varilla es
una funci´on integrable de x, obtenemos que
xM =
R b
a
xδ(x)dx
R b
a
δ(x)dx
.
Ejercicio 1: Una varilla de 5 m de longitud no tiene grosor uniforme, sino que su grosor
disminuye de izquierda a derecha seg´un la ley...