Centroide y centro de masa

INTRODUCCION

Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W.
Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debe aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderácómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas.
También se aprenderá que el cálculo del área de una superficie de revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área utilizada para generar dicha superficie o cuerpo de revolución(teoremas de Pappus-Guldinus). Además, se muestra las diferencias entre centroide y centro de gravedad y para culminar se aprenderá como determinar la ubicación del centro de gravedad y centroide para un sistemas de partículas discretas en un cuerpo.

 

1- ) Conceptos:
a- Centro de gravedad: Punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo, y que es siempre el mismo, sea cual sea la posición delcuerpo.
b- Centro de masa: Es el punto donde puede considerarse que está concentrada toda la masa de un cuerpo para estudiar determinados aspectos de su movimiento.
c- Centroide: Es una propiedad del cuerpo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera únicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide.
2- ) ¿Qué soncuerpos compuestos?
Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos "más simples" conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Un cuerpo de esta índole a menudo puede ser seccionado o dividido en sus partes componentes y, si se conocen el peso y la ubicación de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integración para determinar elcentro de gravedad del cuerpo entero. El método para hacer esto requiere tratar cada parte componente como una partícula.
Tenemos:

Representan las coordenadas del centro de gravedad G del cuerpo compuesto.
Representan las coordenadas del centro de gravedad de cada parte componente del cuerpo.

Es la suma de los pesos de todas las partes componentes del cuerpo, o simplemente el peso total delcuerpo.
Cuando el cuerpo tiene densidad o peso específico constantes, el centro de gravedad coincide con el centroide del cuerpo. El centroide para líneas, áreas y volúmenes compuestos puede encontrarse usando relaciones análogas a las ecuaciones; sin embargo, las siglas W deben reemplazarse por L, A y V, respectivamente. Los centroides para formas comunes de líneas, áreas, cascarones yvolúmenes, que a menudo constituyen un cuerpo compuesto.
3- ) Teoremas de Pappus Guldinus.
Estos teoremas relacionan propiedades de áreas y volúmenes con la posición del centro de masas, permitiendo la simplificación del cálculo del centro de masa de figuras de geometría lineal o superficial.

1erTeorema de Pappus-Guldin. El área de una superficie de revolución engendrada por una línea plana yhomogénea que gira alrededor de un eje de su plano, es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por el centro de masas. A= 2πycg.L, siendo A un área conocida o de fácil cálculo

2do Teorema de Pappus-Guldin. El volumen de un sólido de revolución engendrado por una superficie plana y homogénea que gira alrededor de un eje de su plano, esigual al producto del área generatriz multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por el centro de masas V= 2πycg.S, siendo V un volumen conocido o de fácil cálculo.

A continuación se proporcionan los enunciados y las pruebas de los teoremas de Pappus y Guldinus. Las pruebas requieren que las curvas y áreas generatrices no crucen el eje alrededor del cual giran; de otra manera,...