Centroides de figuras geométricas

3.

Por el método de la integración hallar los centroides de las siguientes áreas

xA   xdA   x el dA
̄
̄
yA   ydA   y el dA
̄
̄

x el , y el  coordenadas del centroide delelemento dA
̄ ̄

Recta
Constante m: El valor de m se determina sustituyendo x  a y y  h en la ecuación
dada. Se tiene:
h  ma
m h
a
Por lo tanto la ecuación de la curva es:
y  hx
a
x  ayh
dA  xdy

y el  y
̄
x el  x
̄
2

h

A   dA
h

0

  xdy
0
h
  a ydy
0 h
h
 1 a y2
2 h
0
A  1 a h 2 − 1 a 0 2  1 ah
2 h
2 h
2
xA   x el dA
̄
̄
1  x el dAx
̄
̄
A
h
 1  x xdy
0 2
1 ah
2 h
 2  1 x 2 dy
ah 0 2
2
h
 2 1  a y dy
ah 2 02 h
h
 1  a 2 y 2 dy
ah 0 h
2 h
 1 a 2  y 2 dy
ah h 0
 a3 1 h 3
3
h
1a
x
̄
3
yA  y el dA
̄
̄
1  ydA
y
̄
A
h
 1  yxdy
0
1 ah
2 h
 2  y a y dy
h
ah 0
h
 2  a y 2 dy
ah 0 h
h
 2 a  y 2 dy
0
ah h
h
 22  y 2 dy
h 0
 22 1 h 3
3
h
2h
y
̄
3Parábola
Constante k: El valor de k se determina sustituyendo x  a y y  h en la ecuación
dada. Se tiene:
h  ka 3

k  h3
a
Por lo tanto la ecuación de la curva es:
y  h3 x 3
a
x  a1 yh3

y el  y
̄
1
3

x el  x
̄
2

dA  xdy
h

A   dA
h

0

  xdy
0
1
h
  a1 y 3 dy
0
h3
a  h y 1 dy
3
 1
0
h3
h 1
 a1  y 3 dy
0
h3
4 h
a 3y3
 1
4
h30
4
4
3h3 − 303
A  a1
4
4
h3
xA   x el dA
̄
̄
1  x el dA
x
̄
̄
A
h
 1  x xdy
3 ah 0 2
4
h
 1  1 x 2 dy
0 2
3 ah
4
h
a y
 1 1 
1
3 ah 2 0
h3
4
2
2  h a 2y 3 dy

3ah 0 2
h3
2
2
h
 2 a  y 3 dy
3ah 2 0
h3

1
3

 3 ah
4

2

dy

2
a  h y 3 dy
5 0
h3
5
3h3
 2 a
5
3 5
h3
x  2a
̄
5
 2
3

yA   y el dA
̄
̄
1 ydA
y
̄
A
h
 1  yxdy
3 ah 0
4
h
a y1
3
 1  y
1
3 ah 0
h3
4
4
h a
 1 
y 3 dy
1
3 ah 0
h3
4
a  h y 4 dy
3
 1
3 ah 1 0
3
h
4
4
h
 4 4  y 3 dy
0
3h 3
7...