centroides por integracion carlos villaseñor fi

Estática Estructural - Sesión # 13: Determinación de centroides por
integración
Prof.: Ing. Carlos Villaseñor M.

Recapitulando:
Centro de gravedad

∑ My = xm⋅ W = x1⋅ ∆W1 + x2⋅ ∆W2 + .... +xn⋅ ∆Wn
∑ Mx = ymed ⋅ W = y1⋅ ∆W1 + y2⋅ ∆W2 + .... + yn⋅ ∆Wn
Si aumentamos el número de elementos en los
que la placa se divide y simultáneamente
reducimos el tamaño de cada elemento,
obtenemos enel límite las expresiones siguientes:
⌠
⎮

⌠
⎮

⌠
⎮

xm⋅ W = ⎮ x dW
⌡

W = ⎮ 1 dW
⌡

ym⋅ W = ⎮ y dW
⌡

Centriodes:

(

)

(

)

(

=> xm⋅ ( γ ⋅ t⋅ A) = x1⋅ γ ⋅ t⋅ ∆A1 +x2⋅ γ ⋅ t ⋅ ∆A2 + .... + xn⋅ γ ⋅ t⋅ ∆An

(

)

(

)

(

ym⋅ ( γ ⋅ t ⋅ A) = y1⋅ γ ⋅ t⋅ ∆A1 + y2⋅ γ ⋅ t⋅ ∆A2 + .... + yn⋅ γ ⋅ t⋅ ∆An

factorizando tenemos que
se cancela el factor γ ⋅ t:xel = x
yel =

1
2

dA = y⋅ dx
y

)

)

=> xm⋅ A = x1⋅ ∆A1 + x2⋅ ∆A2 + .... + xn⋅ ∆An
ym⋅ A = y1⋅ ∆A1 + y2⋅ ∆A2 + .... + yn⋅ ∆An

xel =

1
2

⋅ (a − x)

dA = (a − x) ⋅ dyyel = y

si consideramos elementos diferenciales
=>

⌡

xel =
yel =

Pág.- 1

⌠

xm⋅ A = ⎮ xel dA
⎮

2
3
2
3

⋅ r⋅ cos( θ )
⋅ r⋅ sin( θ )

⌠

ym⋅ A = ⎮ yel dA
⎮

dA =⌡

1 2
⋅ r ⋅ dθ
2

07/04/2007

15:16

Cuando se trata de un alambre
x ⋅L =
se derivan ecuaciones similares: m

⌠
⎮
x dL
⎮
⌡

2

siendo dL:

dL =

1+

⎛d y ⎞ ⋅ dx
⎜
⎝dx⎠

⌠
⎮

ym⋅ L = ⎮ y dL
⌡

2

dL =

1+

⎛d x ⎞ ⋅ dy
⎜
⎝dy ⎠

Teorema de Pappus-Guldinius
Estso teoremas, que furon formulados por el geómetra griego Pappus en el siglo III D.C. y mástarde fueron restablecidos po
el matemático suizo Guldinius (1577-1643) son:
TEOREMA 1:

El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curca generadora multiplicada por ladistancia recorrida por el centroide de la curva al generarse la superficie
tenemos que una fracción del área es: perímetro ⋅ (dL) = 2⋅ π ⋅ y⋅ dL
⌠
⌠
=> A = ⎮ 2 ⋅ π⋅ y dL = 2⋅ π ⋅ ⎮ y dL = 2π ⋅...