Centroides y centros de gravedad

Profa. L. Braganti D CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD

Un cuerpo de peso W está sostenido por una cuerda en el punta A, las únicas fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo son su peso y la reacción ejercida por la cuerda. El equilibrio del cuerpo solo puede existir si estas dos fuerzas son iguales, opuestas y colineales. Por lo tanto la línea de acción del peso W puede determinarse por mediode la línea de acción del apoyo. La intersección de estas posiciones de la línea de acción determina un punto que se define como centro de gravedad del cuerpo; este es el punto por el cual pasa la línea de acción del peso. Esto se reduce que para localizar el centro de gravedad del cuerpo consiste en determinar el punto a través del cual actúa la fuerza de gravedad resultante.

Fig.1.

CENTRODE GRAVEDAD DE UNA LÁMINA PLANA: La localización analítica del centro de gravedad es simplemente la aplicación del principio de momentos. Si se dividiera la placa en pequeños elementos que tienen peso, estos pesos forman un sistema de fuerzas paralelas cuya resultante es el peso total W.

Fig 2.Coordenadas del centro de gravedad

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Profa. L. Braganti D Tomando momento de los pesos respectoal eje Y = Con respecto al eje X se tiene = + +⋯= (b) + +⋯= (a)

Estas ecuaciones solo establecen que el momento de peso W con relación a un eje es igual a la suma de momentos de los pesos elementales

CENTROIDE DE AREAS Y LINEAS Si el material de la lámina es homogéneo, el peso W puede expresarse como el producto de su peso específico G (esto es por unidad de volumen) multiplicado por tA,donde t es el espesor de la lámina y A su área. =∑ Por analogía de las ecuaciones (a) y (b) a la expresión y =∑ se le denomina momentos de área.

Por lo tanto se define como el producto del área por la distancia perpendicular del centro de área al eje de momentos. Despejando de las ecuaciones los siguientes términos =
∑

=

∑

Se obtiene el método para localizar un punto llamado centroidedel área. El centroide del área es el punto correspondiente al centro de gravedad de una lámina de espesor infinitesimal. El término centroide en lugar de centro de gravedad se usa cuando se refiere a áreas (lo mismo que líneas y volúmenes) puesto que tales figuras no tienen peso. Si se tratase de líneas el centroide se puede calcular de manera semejante, se puede suponer que una línea es el eje deun alambre delgado y homogéneo de longitud L y área de sección transversal constante, que está sobre el plano xy. El peso W está dado por la ecuación W= γaL y el peso w de una longitud elemental w=γal, de donde se obtiene =∑ =∑

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Profa. L. Braganti D CENTROIDE DETERMINADOS POR INTEGRACIÓN La integración es el proceso de sumar cantidades infinitesimales. Para determinar el centroide de unárea sería = El centroide de una línea = = =

Cuando se determina el centroide por integración, la figura se divide en elementos diferenciales de manera que: 1.-Todos los puntos de un elemento están localizados a la misma distancia del eje de momentos, 2.-La posición del centroide del elemento se conoce de manera que el momento del elemento respecto al eje de momento es el producto del elementopor la distancia de su centroide al eje. Si la figura plana tiene una línea de simetría su centroide está localizado sobre esa línea, pero si la figura plana tiene dos ejes de simetría el centroide estará en la intersección de las líneas.

CENTROIDE DE UNA FIGURA COMPUESTA En ingeniería muchas figura son combinaciones de formas geométricas, estas figuras se pueden dividir en números finitos deelementos y pueden ser tratados de la misma forma para elementos infinitesimales. Cuando esto se hace el proceso se le llama suma finita, en contraste con la de integración o la infinitesimal. Si un área se puede dividirse en partes cuyos centroides se conocen, el momento del área total será la suma de los momentos de sus partes. El centroide de la figura compuesta se determina aplicando las...