centroides y centros de gravedad

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder popular para la Educación
IUTAJS – Instituto Universitario de tecnología Antonio José de Sucre
Anaco – Edo – Anzoátegui
















Anaco, 23/01/2014
Índice
Índice 2
Introducción 2
Centro de Gravedad de un Cuerpo Bidimensional 3
Centroides de Áreas y líneas 5
Primeros momentos de áreas y líneas 6
Centroides dePlacas y Alambres Compuestos 7
Tabla de Centroides de Figuras Simples 9
Determinación de Centroides por integración 10
Teoremas de Pappus- Guldinus 11
Determinación de cargas distribuidas sobre vigas 13
Centro de Gravedad de un Cuerpo Tridimensional y Centroides de un Volumen. 14
Cuerpos Compuestos 16
Determinación de Centroides por volumen de integración 16
Conclusión 17
Bibliografía 18Introducción
La acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo, por lo tanto la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W; así podemos determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos devarias formas.
Aquí podemos introducir dos conceptos relacionados con centro de gravedad de una placa o de un alambre: el concepto de centroide, de un área o de una línea y el concepto de primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje dado.

















Centro de Gravedad de un Cuerpo Bidimensional
Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional

Para obtenerlas coordenadas  y  de un punto, donde debe aplicarse la resultante W, los momentos de W con respecto a los y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es


Si se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtiene

Estas ecuaciones definen el peso W ylas coordenadas del centro de gravedad G de una placa plana.







Al sumar las fuerzas en la dirección z vertical y los momentos alrededor de los ejes horizontales y y x, Aumentando el número de elementos en que está dividida la placa y disminuyendo el tamaño de cada una obtendremos

Estas definen el peso del cuerpo y las coordenadas x y y de su centro de gravedad.

El centro degravedad de un cuerpo rígido es el punto G en donde puede aplicarse una sola fuerza W, llamada peso del cuerpo, para representar el efecto de la atracción de la Tierra sobre ese cuerpo. Es el punto del espacio en el que se considera que está aplicado el peso.
Centroides de Áreas y líneas
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud  del peso de un elemento de la placapuede expresarse

Donde = peso específico (peso por unidad de volumen) del material
t= espesor de la placa
 = área del elemento
Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, es decir

Estas ecuaciones definen las coordenadas  del centro de gravedad de una placa homogénea conocido también como elcentroide C del área A
En cambio si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar, pero estas aun definen al centroide del área.

En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud  del peso de un elemento de alambre puede expresarse como:

Donde  = peso específico del material
a = área de la sección transversal del alambre
 = longituddel elemento
El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre, es decir

Primeros momentos de áreas y líneas
La integral  se le conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy; de igual manera  define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx, es decir,

O bien...