Centroides

CAPITULO 3
CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA
3.1 CENTROIDE DE ALAMBRES
PROBLEMA 3.1 Un alambre compuesto delgado de sección uniforme ABCD está conformado por un
tramo AB de cuarto de circunferencia y dos tramos rectos BC y CD donde este último es vertical.

Q
os
br

Solución:

m

.co

Fig. 3.1

Para determinar el centro de gravedad de figuras, como es el caso de alambrescompuestos, se

Li
w.
Para el caso del cuarto de círculo, tenemos:
ww

divide en sectores conocidos (tramo cuarto de círculo AB y líneas BC y CD).

L AB 

R 3

 1,5
2
2

YCG  Z CG 

2R 2.3 6






Fig. 3.2
Las longitudes y ubicación de los centros de gravedad de las líneas BC y CD se conocen y muestran
en la tabla 3.1

96

www.GRATIS2.com

Determinar lascoordenadas de su centro de gravedad.

Tabla 3.1
TRAMO

Li

Xi

Yi

Zi

(m)
AB

1,5

0

6/ 

6/ 

BC

5

2

1,5

0

CD

2

4

0

1

Luego, determinamos las coordenadas del centro de gravedad:

X

L X
L
i

i

i



1,5.(0)  5.(2)  2.(4)
18

 1,537m
1,5  5  2
11,712

Z

 L i Zi
L

i

6
1,5.   5.(0) 2.(1)
11



 0,939m
11,712
11,712

m

.co

PROBLEMA 3.2 Sabiendo que la coordenada en “Z” del centro de gravedad del siguiente alambre

Q
os
br

delgado homogéneo es 0,466m. Determinar “R”, sabiendo que la semi-circunferencia se encuentra

Li
w.
w

en el plano YZ

w

Fig. 3.3
Solución:
Determinamos las longitudes de cada tramo:

L AB  0,5m
L BC  0,5 2  1,2 2 1,3m
L CD  0,9 2  1,2 2  1,5m

L DE  R
En la tabla 3.2 se tienen las longitudes y centroides de cada tramo.
97

www.GRATIS2.com

6
1,5.   5.(1,5)  2.(0)
16,5
 L i Yi    
Y

 1,409m
11,712
11,712
 Li

Tabla 3.2
TRAMO

Li

Zi

(m)
AB

0,5

0

BC

1,3

0

CD

1,5

0,45

DE

R

0,9 

2R


Luego:

Z

L Z
L
ii



i

2R 

0,5.(0)  1,3.(0)  1,5.(0,45)  R. 0,9 

 

0,466 
0,5  1,3  1,5  R

Efectuamos cálculos y obtenemos:

Resolvemos la ecuación cuadrática, tomando solo el valor positivo, ya que el radio siempre será así,
obteniendo:

R  0,4m

m

Q
os
br

.co

Li
w.
w

3.2 CENTROIDE DE AREAS

PROBLEMA 3.3 Determinar las coordenadas del centroide dela lámina compuesta delgada, la cual

w

está formada por una región de cuarto de círculo y otra región rectangular hueca.

Fig. 3.4
Solución:
Analizamos cada figura en forma independiente, determinando sus áreas y coordenadas del centro
de gravedad.
FIGURA 1:

X1 

4R 4.(3) 4


3
3

98

www.GRATIS2.com

2R 2  1,3634R  0,8628  0

Y1  0
Z1 

4R 4.(3) 4

3
3


 2 .(3) 2
A1  .R 
 2,25
4
4

FIGURA 2:

X 2  1,5

Q
os
br

Y2  1,5

Li
w.
w

Z2  0

A 2  3.3  9

m

.co

w

Fig. 3.6
FIGURA 3:

X 3  0,75
Y3  1,5
Z3  0

A 3  1.1,5  1,5
99

www.GRATIS2.com

Fig. 3.5

Fig. 3.7
Con los resultados obtenidos, elaboramos la tabla 3.3, con la finalidad de determinar las
coordenadas delcentro de gravedad de la lámina compuesta.
Tabla 3.3
FIGURA

Ai

Xi

Yi

Zi

A i Xi

A i Yi

A i Zi

2

(m )

2,25

4/ 

0

4/ 

9

0

9

2

9

1,5

1,5

0

13,5

13,5

0

3

-1,5

0,75

1,5

0

-1,125

-2,25

0

Σ

14,568

-

-

-

21,375

11,25

9

m
co hueca en esa parte.
Nótese, que el área de la figura 3, esnegativa, por ser la lámina
.
sQ
Luego:
o
ibr
L
 A X  21,375  1,467m
w.
X
ww
 A 14,568
i

i

i

 A Y  11,25  0,772m
 A 14,568
 A Z  9  0,618m
Z
 A 14,568

Y

i

i

i

i

i

i

PROBLEMA 3.4 Sabiendo que las coordenadas del centro de gravedad de la lámina delgada
homogénea mostrada es

(0,421; Y; Z) . Determinar a , Y , Z .

Fig. 3.8
100...